Em geral, a regra da substituição de variável não aparece nas tabelas de integrais. Precisamos saber que uma integral em uma determinada variável (por exemplo x ) pode ser escrita em uma outra variável (por exemplo u ) se fizermos todas as substituições na função a ser integrada e também no termo d x. Como exemplo, considere u=1+ln x.
(a) Calcule a derivada de u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de $ u = 1 + \ln x $. Isso está dentro do contexto de substituição de variável nas integrais, que é uma técnica importante em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas básicas, especialmente a derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em relação a uma variável nos dá a taxa de variação dessa função em relação a essa variável. No nosso caso, queremos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{du}{dx} $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as regras de derivação à função $ u = 1 + \ln x $. Sabemos que a derivada de uma constante é zero e que a derivada de $ \ln x $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{x} $.
Então, derivando cada termo separadamente:
u = 1 + ln x
ln x

Passo 4

Somando as derivadas dos termos, temos:
dudx = 0 + 1x = 1x

Resposta

A derivada de $ u = 1 + \ln x $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{x} $.

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