Em geral, a regra da substituição de variável não aparece nas tabelas de integrais. Precisamos saber que uma integral em uma determinada variável (por exemplo
) pode ser escrita em uma outra variável (por exemplo
) se fizermos todas as substituições na função a ser integrada e também no termo
. Como exemplo, considere
.
(a) Calcule a derivada de
.
(a) Calcule a derivada de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de $ u = 1 + \ln x $. Isso está dentro do contexto de substituição de variável nas integrais, que é uma técnica importante em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas básicas, especialmente a derivada do logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em relação a uma variável nos dá a taxa de variação dessa função em relação a essa variável. No nosso caso, queremos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{du}{dx} $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as regras de derivação à função $ u = 1 + \ln x $. Sabemos que a derivada de uma constante é zero e que a derivada de $ \ln x $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{x} $.
Então, derivando cada termo separadamente:
Passo 4
Somando as derivadas dos termos, temos:
Resposta
A derivada de $ u = 1 + \ln x $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{x} $.