Utilize as relações trigonométricas
(i) sen^2 x=1-cos ^2 x,
(ii) sec ^2 x=1+tg^2 x,
(iii) cos ^2 x=1+cos (2 x)2 e
(iv) sen^2 x=1-cos (2 x)2
para calcular as integrais abaixo.
(b) integral tg^3 x sec ^4 x d x.

Passo 1

Nessa questão, a gente precisa calcular integral tan^3 x,sec^4 x,dx. É uma integral trigonométrica em que vamos usar a identidade tan^2 x = sec^2 x - 1 e a substituição u = sec x.

Passo 2

Primeiro, note que tan^3 xsec^4 x = tan^2 x cdot tan x cdot sec^4 x. Substituindo tan^2 x pela identidade, fica (sec^2 x - 1),tan x,sec^4 x.
Agora distribuímos dentro da integral:
integral (sec^2 x - 1),tan x,sec^4 x,dx = integral tan x,sec^6 x,dx - integral tan x,sec^4 x,dx

Passo 3

Para resolver cada uma, fazemos u = sec x. Daí du = sec x,tan x,dx. Observe que
tan x,sec^6 x,dx = sec^5 x,(sec x,tan x,dx) = u^5,du, tan x,sec^4 x,dx = sec^3 x,(sec x,tan x,dx) = u^3,du

Passo 4

Integrando em termos de u:
integral u^5,du = u^66, integral u^3,du = u^44 Essas são as primitivas parciais de cada termo.

Passo 5

Por fim, voltamos para x com u = sec x e somamos as primitivas obtidas para chegar na antiderivada geral.

Resposta

sec^6 x6 - sec^4 x4 + C

Exercícios relacionados