(a) Qual é a probabilidade de que n partículas, escolhidas ao acaso, contenham ao menos uma partícula do isótopo B ?
(b) Qual é a probabilidade de que n partículas, escolhidas ao acaso, contenham ao menos duas partículas do isótopo B ?

Passo 1

O enunciado pede para a gente calcular, em duas situações, probabilidades envolvendo “pelo menos” partículas de um certo isótopo P(X = k) ;=; binomnk p^k (1-p)^,n-k .
Conteúdo: Distribuição Binomial.
O que vamos precisar:
  • Entender que cada partícula tem probabilidade de ser do isótopo (e de não ser).
  • Saber usar a fórmula da binomial para “exactly ” sucessos em tentativas:
A partir daí, “pelo menos” significa usar complemento ou somar vários casos.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a): “pelo menos uma partícula de P(X=0) ;=; binomn0 p^0 (1-p)^n ;=; (1-p)^n ”.
Em vez de somar P(pelo menos 1 B) ;=; 1 - (1-p)^n , é muito mais simples usar o complemento:
“pelo menos uma” = 1 – “nenhuma”.
A probabilidade de nenhuma partícula ser é .
Usando a binomial:
Logo,

Passo 3

Agora o item (b): “pelo menos duas partículas de P(X=0) e P(X=1) ”.
De novo vale a ideia de usar complemento:
“pelo menos 2” = 1 – [“0 ou 1”].
Também dá pra somar direto, mas usar complemento é mais bonitinho.
Então precisamos de
P(X=1) ;=; binomn1 p^1 (1-p)^n-1 ;=; n,p,(1-p)^n-1
A gente já viu que P(X=0) + P(X=1) ;=; (1-p)^n ;+; n,p,(1-p)^n-1 .
E
P(pelo menos 2 B) ;=; 1 ;-;l[(1-p)^n + n,p,(1-p)^n-1r]
Somando:
Logo

Resposta

(a) .
(b) .

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