Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
\int_{-4}^{-3} \frac{x d x}{\sqrt{x^{2}-9}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{-4}^{-3} \frac{x\,dx}{\sqrt{x^{2}-9}}
é convergente e, em caso afirmativo, calculá-la. Aqui temos uma integral imprópria porque o denominador \sqrt{x^2-9} se anula em x=-3, que é o limite de integração. O conteúdo necessário é o conceito de integral imprópria e cálculo de antiderivada por substituição.

Passo 2

Como há singularidade em x=-3, reescrevemos a integral como limite:
\int_{-4}^{-3} \frac{x\,dx}{\sqrt{x^{2}-9}} =\lim_{t\to(-3)^{-}}\int_{-4}^{t}\frac{x\,dx}{\sqrt{x^{2}-9}}.

Passo 3

Vamos achar uma antiderivada de \displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2-9}}. Use a substituição
u = x^2 - 9 \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Então
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{x^2-9}} = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{2}\cdot 2\,u^{\tfrac12} = \sqrt{u} = \sqrt{x^2-9}.
Portanto, uma primitiva é
F(x)=\sqrt{x^2-9}.

Passo 4

Avaliaremos
\lim_{t\to(-3)^{-}}\bigl[F(t)-F(-4)\bigr] = \lim_{t\to(-3)^{-}}\sqrt{t^2-9}\;-\;\sqrt{(-4)^2-9}.
Como t\to-3^{-} implica t^2\to9 pela esquerda, temos \sqrt{t^2-9}\to0. Além disso
\sqrt{(-4)^2-9} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7}.
Logo o valor da integral é
0 - \sqrt{7} = -\sqrt{7}.

Resposta

A integral é convergente e vale -\sqrt{7}.

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