Qual é a geratriz das dízimas periódicas abaixo?
0,417417417 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para transformar a dízima periódica 0,417417417\ldots em uma fração (a chamada “geratriz” dessa dízima). O conteúdo envolvido é a conversão de uma dízima periódica pura em número racional.

Passo 2

Como toda a parte decimal é periódica e o período é “417”, temos um bloco de 3 dígitos que se repete indefinidamente. Vamos chamar esse bloco de repetendo:
\text{repetendo} = 417, \quad k = 3 \quad(\text{número de dígitos do período}).úíí

Passo 3

Para uma dízima periódica pura de período k, a fração inicial é
\frac{\text{repetendo}}{\underbrace{99\ldots9}_{k\;\text{vezes}}} =\frac{417}{999}.

Passo 4

Agora basta simplificar essa fração. Como 417 e 999 são divisíveis por 3, dividimos numerador e denominador por 3:
\frac{417}{999} =\frac{417\div3}{999\div3} =\frac{139}{333}.

Resposta

\displaystyle \frac{139}{333}

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