Realize a avaliação semântica das sentenças a seguir, classificando-as em uma das categorias: Tautologia, Contradição e Satisfatível, exibindo o passo a passo que justifique sua resposta.
(\mathrm{P} \wedge \mathrm{Q}) \leftrightarrow(\neg \mathrm{P} \vee \mathrm{Q})

Passo 1

O enunciado fornece a fórmula lógica
(\mathrm{P} \wedge \mathrm{Q}) \leftrightarrow(\neg \mathrm{P} \vee \mathrm{Q})
e pede que a classifiquemos semanticamente em uma das três categorias: Tautologia, Contradição ou Satisfatível.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A fórmula envolvida é (\mathrm{P} \wedge \mathrm{Q}) \leftrightarrow(\neg \mathrm{P} \vee \mathrm{Q}).
  • As variáveis proposicionais são \mathrm{P} e \mathrm{Q}.
  • As conectivas presentes são \wedge (e), \vee (ou), \neg (negação) e \leftrightarrow (bicondicional).

Passo 2

Vou explicar o significado dos conectivos e das classificações (tudo bem mastigado):
  • A conjunção \mathrm{A}\wedge\mathrm{B} é verdadeira somente quando ambas \mathrm{A} e \mathrm{B} são verdadeiras; caso contrário é falsa.
  • A disjunção \mathrm{A}\vee\mathrm{B} é verdadeira quando pelo menos uma das proposições \mathrm{A} ou \mathrm{B} é verdadeira; é falsa só quando ambas são falsas.
  • A negação \neg\mathrm{A} inverte o valor de verdade de \mathrm{A}: se \mathrm{A} é verdadeira, \neg\mathrm{A} é falsa, e vice-versa.
  • O bicondicional \mathrm{A}\leftrightarrow\mathrm{B} é verdadeiro exatamente quando \mathrm{A} e \mathrm{B} têm o mesmo valor de verdade (ambos verdadeiros ou ambos falsos); é falso quando têm valores diferentes.
Definições de classificação semântica:
  • Tautologia: fórmula verdadeira em todas as valuations (todas as combinações de verdade/false das variáveis).
  • Contradição: fórmula falsa em todas as valuations.
  • Satisfatível: existe pelo menos uma valuation que torna a fórmula verdadeira (ou seja, verdadeira em alguma combinação).
    Essas definições nos dizem como interpretar o resultado da análise da fórmula.

Passo 3

Vamos construir a tabela de verdade completa para (\mathrm{P} \wedge \mathrm{Q}) \leftrightarrow(\neg \mathrm{P} \vee \mathrm{Q}). As possíveis valuations para \mathrm{P} e \mathrm{Q} são quatro. Montando as colunas importantes:
\begin{array}{c c | c | c | c} \mathrm{P} & \mathrm{Q} & \mathrm{P}\wedge\mathrm{Q} & \neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q} & (\mathrm{P}\wedge\mathrm{Q})\leftrightarrow(\neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q})\\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}
Agora explico linha a linha (usar 1 para verdadeiro e 0 para falso):
  • Linha 1: \mathrm{P}=1,\\ \mathrm{Q}=1.
    • \mathrm{P}\wedge\mathrm{Q}=1 porque ambas são verdadeiras.
    • \neg\mathrm{P}=0, então \neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q}=0\vee1=1.
    • Bicondicional 1\leftrightarrow1=1 (ambos iguais).
  • Linha 2: \mathrm{P}=1,\\ \mathrm{Q}=0.
    • \mathrm{P}\wedge\mathrm{Q}=0 (porque \mathrm{Q}=0).
    • \neg\mathrm{P}=0, então \neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q}=0\vee0=0.
    • Bicondicional 0\leftrightarrow0=1.
  • Linha 3: \mathrm{P}=0,\\ \mathrm{Q}=1.
    • \mathrm{P}\wedge\mathrm{Q}=0 (porque \mathrm{P}=0).
    • \neg\mathrm{P}=1, então \neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q}=1\vee1=1.
    • Bicondicional 0\leftrightarrow1=0.
  • Linha 4: \mathrm{P}=0,\\ \mathrm{Q}=0.
    • \mathrm{P}\wedge\mathrm{Q}=0.
    • \neg\mathrm{P}=1, então \neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q}=1\vee0=1.
    • Bicondicional 0\leftrightarrow1=0.
Observação: da tabela vemos que a fórmula vale 1 nas duas primeiras valuations e 0 nas duas últimas.

Passo 4

Interpretação dos resultados da tabela:
  • A fórmula não é verdadeira em todas as valuations (há linhas onde vale 0), logo NÃO é uma Tautologia.
  • A fórmula não é falsa em todas as valuations (há linhas onde vale 1), logo NÃO é uma Contradição.
  • Existe pelo menos uma valuation que torna a fórmula verdadeira (na verdade duas: \mathrm{P}=1,\mathrm{Q}=1 e \mathrm{P}=1,\mathrm{Q}=0), logo a fórmula é Satisfatível.
Para reforçar a intuição e mostrar um atalho útil na prova, faço uma simplificação lógica algébrica que mostra uma equivalência curta.

Passo 5

Simplificação usando equivalências lógicas (passo a passo):
  1. Reconhecer que \neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q} é a implicação \mathrm{P}\to\mathrm{Q}. Ou seja,
\neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q}\equiv(\mathrm{P}\to\mathrm{Q}).
  1. Portanto a fórmula é equivalente a
(\mathrm{P}\wedge\mathrm{Q})\leftrightarrow(\mathrm{P}\to\mathrm{Q}).
  1. Usar a equivalência \mathrm{A}\leftrightarrow\mathrm{B}\equiv(\mathrm{A}\wedge\mathrm{B})\vee(\neg\mathrm{A}\wedge\neg\mathrm{B}). Tomando \mathrm{A}=\mathrm{P}\wedge\mathrm{Q} e \mathrm{B}=\neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q}, temos
\begin{aligned} (\mathrm{P}\wedge\mathrm{Q})\leftrightarrow(\neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q}) &\equiv (\mathrm{P}\wedge\mathrm{Q})\wedge(\neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q}) \\\ &\quad\vee\; \neg(\mathrm{P}\wedge\mathrm{Q})\wedge\neg(\neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q}). \end{aligned}
  1. Simplificar cada parte:
  • (\mathrm{P}\wedge\mathrm{Q})\wedge(\neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q}) \equiv \mathrm{P}\wedge\mathrm{Q} porque dentro do conector aparece \mathrm{Q} e \mathrm{Q}\wedge(\neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q})\equiv\mathrm{Q}.
  • \neg(\mathrm{P}\wedge\mathrm{Q})\wedge\neg(\neg\mathrm{P}\vee\mathrm{Q}) \equiv (\neg\mathrm{P}\vee\neg\mathrm{Q})\wedge(\mathrm{P}\wedge\neg\mathrm{Q}) (aplicar De Morgan e dupla negação).
    • Isso simplifica para \mathrm{P}\wedge\neg\mathrm{Q} (pois combinar (\neg\mathrm{P}\vee\neg\mathrm{Q}) com \mathrm{P}\wedge\neg\mathrm{Q} deixa apenas \mathrm{P}\wedge\neg\mathrm{Q}).
  1. Juntando as duas partes:
(\mathrm{P}\wedge\mathrm{Q})\vee(\mathrm{P}\wedge\neg\mathrm{Q}) \equiv \mathrm{P}\wedge(\mathrm{Q}\vee\neg\mathrm{Q}) \equiv \mathrm{P}\wedge\text{verdadeiro} \equiv \mathrm{P}.
Portanto a fórmula é logicamente equivalente a \mathrm{P}. Isso confirma o que vimos na tabela: a fórmula vale exatamente quando \mathrm{P} é verdadeira.

Resposta

Satisfatível

Exercícios relacionados