Realize a avaliação semântica das sentenças a seguir, classificando-as em uma das categorias: Tautologia, Contradição e Satisfatível, exibindo o passo a passo que justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece a fórmula lógica
e pede que a classifiquemos semanticamente em uma das três categorias: Tautologia, Contradição ou Satisfatível.
Informações relevantes que o enunciado dá:
e pede que a classifiquemos semanticamente em uma das três categorias: Tautologia, Contradição ou Satisfatível.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A fórmula envolvida é
. - As variáveis proposicionais são
e . - As conectivas presentes são
(e), (ou), (negação) e (bicondicional).
Passo 2
Vou explicar o significado dos conectivos e das classificações (tudo bem mastigado):
- A conjunção
é verdadeira somente quando ambas e são verdadeiras; caso contrário é falsa. - A disjunção
é verdadeira quando pelo menos uma das proposições ou é verdadeira; é falsa só quando ambas são falsas. - A negação
inverte o valor de verdade de : se é verdadeira, é falsa, e vice-versa. - O bicondicional
é verdadeiro exatamente quando e têm o mesmo valor de verdade (ambos verdadeiros ou ambos falsos); é falso quando têm valores diferentes.
Definições de classificação semântica:
- Tautologia: fórmula verdadeira em todas as valuations (todas as combinações de verdade/false das variáveis).
- Contradição: fórmula falsa em todas as valuations.
- Satisfatível: existe pelo menos uma valuation que torna a fórmula verdadeira (ou seja, verdadeira em alguma combinação).
Essas definições nos dizem como interpretar o resultado da análise da fórmula.
Passo 3
Vamos construir a tabela de verdade completa para
. As possíveis valuations para
e
são quatro. Montando as colunas importantes:
Agora explico linha a linha (usar
para verdadeiro e
para falso):
- Linha 1:
. -
porque ambas são verdadeiras. -
, então . - Bicondicional
(ambos iguais).
-
- Linha 2:
. -
(porque ). -
, então . - Bicondicional
.
-
- Linha 3:
. -
(porque ). -
, então . - Bicondicional
.
-
- Linha 4:
. -
. -
, então . - Bicondicional
.
-
Observação: da tabela vemos que a fórmula vale
nas duas primeiras valuations e
nas duas últimas.
Passo 4
Interpretação dos resultados da tabela:
- A fórmula não é verdadeira em todas as valuations (há linhas onde vale
), logo NÃO é uma Tautologia. - A fórmula não é falsa em todas as valuations (há linhas onde vale
), logo NÃO é uma Contradição. - Existe pelo menos uma valuation que torna a fórmula verdadeira (na verdade duas:
e ), logo a fórmula é Satisfatível.
Para reforçar a intuição e mostrar um atalho útil na prova, faço uma simplificação lógica algébrica que mostra uma equivalência curta.
Passo 5
Simplificação usando equivalências lógicas (passo a passo):
- Reconhecer que
é a implicação . Ou seja,
- Portanto a fórmula é equivalente a
- Usar a equivalência
. Tomando e , temos
- Simplificar cada parte:
-
porque dentro do conector aparece e . -
(aplicar De Morgan e dupla negação). - Isso simplifica para
(pois combinar com deixa apenas ).
- Isso simplifica para
- Juntando as duas partes:
Portanto a fórmula é logicamente equivalente a
. Isso confirma o que vimos na tabela: a fórmula vale exatamente quando
é verdadeira.
Resposta
Satisfatível