- (Gere) Um membro em tração deve ser construído a partir de duas peças de plástico coladas no plano pq. Para fins de corte e colagem, o ângulo
deve estar entre
e
. As tensões admissíveis na junta colada em tração e cisalhamento são 15 MPa e 9 MPa , respectivamente.
a) Determine o ângulo
de forma que a barra suporte a maior carga P. (Assuma que a resistência da junta colada controla o dimensionamento.)
b) Determine a máxima carga admissível
se a área de seção transversal da barra é
.
a) Determine o ângulo
b) Determine a máxima carga admissível
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o ângulo
(com ) que faz a barra suportar a maior carga , sabendo que a resistência da junta colada controla o projeto. - (b) Calcular a máxima carga admissível
quando a área da seção transversal é .
Dados fornecidos (vou listar todos, para ficar claro):
A partir daqui vamos modelar como a força axial
gera tensões normal e de cisalhamento na superfície colada inclinada por
e achar
admissível em função de
, depois escolher
que maximiza essa carga dentro do intervalo permitido.
Passo 2
Entendendo a geometria da superfície colada e a sua área efetiva: a seção transversal da barra perpendicular ao eixo tem área
. A superfície de colagem é inclinada de ângulo
em relação ao eixo da barra (veja a figura). A área dessa superfície inclinada (chamo de
) é maior do que
porque ela é a projeção oblíqua. A relação entre elas é dada por projeção:
Se projetarmos a área inclinada no plano perpendicular ao eixo, a projeção vale
. Geometricamente obtém-se
logo
Explicação didática curta: se
é pequeno (plano quase paralelo ao eixo) a área colada precisa ser grande para cortar a mesma seção perpendicular; se
aumenta, a área inclinada diminui. Por isso aparece
no denominador.
Passo 3
Agora vamos decompor a força axial
em componentes em relação ao plano inclinado:
- A componente da força perpendicular ao plano (que gera tensão normal na cola) é a projeção de
na direção normal ao plano. Tomando a força axial para a direita como referência, a componente normal (tensora de tração na cola) tem módulo
onde
é o ângulo entre o eixo da barra e a normal ao plano. Mas a normal ao plano forma com o eixo um ângulo
. Assim
portanto
- A componente tangencial ao plano (aquela que produz cisalhamento na junta) é a projeção de
no plano, com módulo
Resumo: a força axial
gera sobre a superfície colada as duas forças
Passo 4
Converter forças em tensões dividindo pela área da superfície colada
.
- Tensão normal (tração) na cola:
Explicação: a força normal é dividida pela área real da junta; o fator
vem da combinação da componente
e da área
.
- Tensão de cisalhamento na cola:
Observação útil:
, portanto
.
Passo 5
As condições de segurança (admissíveis) impõem:
Dessas desigualdades isolamos
em função de
:
- A partir de
:
- A partir de
:
A carga admissível real para um dado
é
Nosso objetivo (a) é escolher
em
que maximiza
.
Passo 6
Tentar o método padrão: se fosse livre escolher
sem limites, a melhor escolha costuma ser a que faz as duas restrições atuarem simultaneamente (nenhuma resistência fica “sem uso”), ou seja
. Igualando:
Cancela
e um fator
(pois
no intervalo dado):
Portanto a solução ideal (sem restrição de intervalo) seria
Substituindo valores numéricos:
Mas esse valor está fora do intervalo permitido
. Logo a solução ótima dentro do intervalo ocorre em uma das extremidades do intervalo (porque a solução interna que iguala as duas limitações não é viável).
Passo 7
Calculamos
nas duas extremidades
e
e escolhemos a maior.
Primeiro valores trigonométricos úteis (aproximações suficientes para prova manual):
Calcule em
:
Então
Portanto
Aqui a junta está controlada pelo cisalhamento (o cisalhamento atinge o admissível antes da tração).
Agora em
:
Aqui também o cisalhamento controla.
Comparando os dois extremos:
logo a máxima carga admissível dentro do intervalo ocorre em
.
Resposta
(a)
(b) (ou
).
(b)