1. (Gere) Um membro em tração deve ser construído a partir de duas peças de plástico coladas no plano pq. Para fins de corte e colagem, o ângulo \theta deve estar entre 25^{\circ} e 45^{\circ}. As tensões admissíveis na junta colada em tração e cisalhamento são 15 MPa e 9 MPa , respectivamente.
    a) Determine o ângulo \theta de forma que a barra suporte a maior carga P. (Assuma que a resistência da junta colada controla o dimensionamento.)
    b) Determine a máxima carga admissível P_{\text {max }} se a área de seção transversal da barra é 900 \mathrm{~mm}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar o ângulo \theta (com 25^\circ\le\theta\le45^\circ) que faz a barra suportar a maior carga P, sabendo que a resistência da junta colada controla o projeto.
  • (b) Calcular a máxima carga admissível P_{\max} quando a área da seção transversal é 900\\ \mathrm{mm}^2.
Dados fornecidos (vou listar todos, para ficar claro):
\sigma_{\text{adm}}=15\\ \text{MPa}\quad(\text{tensão normal admissível na cola}),ãí
\tau_{\text{adm}}=9\\ \text{MPa}\quad(\text{tensão de cisalhamento admissível na cola}),ãí
A=900\\ \mathrm{mm}^2\quad(\text{área da seção transversal da barra}),áçã
25^\circ \le \theta \le 45^\circ.
A partir daqui vamos modelar como a força axial P gera tensões normal e de cisalhamento na superfície colada inclinada por \theta e achar P admissível em função de \theta, depois escolher \theta que maximiza essa carga dentro do intervalo permitido.

Passo 2

Entendendo a geometria da superfície colada e a sua área efetiva: a seção transversal da barra perpendicular ao eixo tem área A. A superfície de colagem é inclinada de ângulo \theta em relação ao eixo da barra (veja a figura). A área dessa superfície inclinada (chamo de A_{\text{plano}}) é maior do que A porque ela é a projeção oblíqua. A relação entre elas é dada por projeção:
Se projetarmos a área inclinada no plano perpendicular ao eixo, a projeção vale A. Geometricamente obtém-se
A = A_{\text{plano}}\cdot\sin\theta,
logo
A_{\text{plano}}=\frac{A}{\sin\theta}.
Explicação didática curta: se \theta é pequeno (plano quase paralelo ao eixo) a área colada precisa ser grande para cortar a mesma seção perpendicular; se \theta aumenta, a área inclinada diminui. Por isso aparece \sin\theta no denominador.

Passo 3

Agora vamos decompor a força axial P em componentes em relação ao plano inclinado:
  • A componente da força perpendicular ao plano (que gera tensão normal na cola) é a projeção de P na direção normal ao plano. Tomando a força axial para a direita como referência, a componente normal (tensora de tração na cola) tem módulo
F_n = P\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre o eixo da barra e a normal ao plano. Mas a normal ao plano forma com o eixo um ângulo \varphi=90^\circ-\theta. Assim
\cos\varphi=\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta,
portanto
F_n = P\sin\theta.
  • A componente tangencial ao plano (aquela que produz cisalhamento na junta) é a projeção de P no plano, com módulo
F_t = P\cos\theta.
Resumo: a força axial P gera sobre a superfície colada as duas forças
F_n = P\sin\theta\quad\text{(normal, tração)},çã
F_t = P\cos\theta\quad\text{(tangencial, cisalhamento)}.

Passo 4

Converter forças em tensões dividindo pela área da superfície colada A_{\text{plano}}=\dfrac{A}{\sin\theta}.
  • Tensão normal (tração) na cola:
\sigma(\theta)=\frac{F_n}{A_{\text{plano}}}=\frac{P\sin\theta}{A/\sin\theta}=\frac{P\sin^2\theta}{A}.
Explicação: a força normal é dividida pela área real da junta; o fator \sin^2\theta vem da combinação da componente P\sin\theta e da área A/\sin\theta.
  • Tensão de cisalhamento na cola:
\tau(\theta)=\frac{F_t}{A_{\text{plano}}}=\frac{P\cos\theta}{A/\sin\theta}=\frac{P\sin\theta\cos\theta}{A}.
Observação útil: \sin\theta\cos\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta), portanto \tau(\theta)=\dfrac{P}{2A}\sin(2\theta).

Passo 5

As condições de segurança (admissíveis) impõem:
\sigma(\theta)\le\sigma_{\text{adm}},\qquad \tau(\theta)\le\tau_{\text{adm}}.
Dessas desigualdades isolamos P em função de \theta:
  • A partir de \sigma(\theta)\le\sigma_{\text{adm}}:
\frac{P\sin^2\theta}{A}\le\sigma_{\text{adm}}\quad\Rightarrow\quad P\le P_\sigma(\theta)=\frac{\sigma_{\text{adm}}\;A}{\sin^2\theta}.
  • A partir de \tau(\theta)\le\tau_{\text{adm}}:
\frac{P\sin\theta\cos\theta}{A}\le\tau_{\text{adm}}\quad\Rightarrow\quad P\le P_\tau(\theta)=\frac{\tau_{\text{adm}}\;A}{\sin\theta\cos\theta}.
A carga admissível real para um dado \theta é
P_{\text{adm}}(\theta)=\min\big\{P_\sigma(\theta),\;P_\tau(\theta)\big\}.
Nosso objetivo (a) é escolher \theta em [25^\circ,45^\circ] que maximiza P_{\text{adm}}(\theta).

Passo 6

Tentar o método padrão: se fosse livre escolher \theta sem limites, a melhor escolha costuma ser a que faz as duas restrições atuarem simultaneamente (nenhuma resistência fica “sem uso”), ou seja P_\sigma(\theta)=P_\tau(\theta). Igualando:
\frac{\sigma_{\text{adm}}A}{\sin^2\theta}=\frac{\tau_{\text{adm}}A}{\sin\theta\cos\theta}.
Cancela A e um fator \sin\theta (pois \sin\theta>0 no intervalo dado):
\frac{\sigma_{\text{adm}}}{\sin\theta}=\frac{\tau_{\text{adm}}}{\cos\theta} \quad\Rightarrow\quad \frac{\sigma_{\text{adm}}}{\tau_{\text{adm}}}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta.
Portanto a solução ideal (sem restrição de intervalo) seria
\theta^*=\arctan\!\left(\frac{\sigma_{\text{adm}}}{\tau_{\text{adm}}}\right).
Substituindo valores numéricos:
\theta^*=\arctan\!\left(\frac{15}{9}\right)=\arctan\!\left(\frac{5}{3}\right)\approx 59^\circ.
Mas esse valor está fora do intervalo permitido 25^\circ\le\theta\le45^\circ. Logo a solução ótima dentro do intervalo ocorre em uma das extremidades do intervalo (porque a solução interna que iguala as duas limitações não é viável).

Passo 7

Calculamos P_{\text{adm}}(\theta) nas duas extremidades \theta=25^\circ e \theta=45^\circ e escolhemos a maior.
Primeiro valores trigonométricos úteis (aproximações suficientes para prova manual):
\sin25^\circ\approx0,422618,\quad \cos25^\circ\approx0,906308,
\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0,707107.
Calcule em \theta=25^\circ:
\sin^2 25^\circ\approx(0,422618)^2\approx0,178606,
\sin25^\circ\cos25^\circ\approx0,383022.
Então
P_\sigma(25^\circ)=\frac{\sigma_{\text{adm}}A}{\sin^2 25^\circ} =\frac{15\\ \text{MPa}\cdot900\\ \mathrm{mm}^2}{0,178606} =\frac{13500\\ \text{N}}{0,178606}\approx 75\,594\\ \text{N}.
P_\tau(25^\circ)=\frac{\tau_{\text{adm}}A}{\sin25^\circ\cos25^\circ} =\frac{9\\ \text{MPa}\cdot900\\ \mathrm{mm}^2}{0,383022} =\frac{8100\\ \text{N}}{0,383022}\approx 21\,154\\ \text{N}.
Portanto
P_{\text{adm}}(25^\circ)=\min\{75\,594,\;21\,154\}\\ \text{N}=21\,154\\ \text{N}.
Aqui a junta está controlada pelo cisalhamento (o cisalhamento atinge o admissível antes da tração).
Agora em \theta=45^\circ:
\sin^2 45^\circ=0,5,\quad \sin45^\circ\cos45^\circ=0,5.
P_\sigma(45^\circ)=\frac{15\cdot900}{0,5}=\frac{13\,500}{0,5}=27\,000\\ \text{N},
P_\tau(45^\circ)=\frac{9\cdot900}{0,5}=\frac{8\,100}{0,5}=16\,200\\ \text{N}.
P_{\text{adm}}(45^\circ)=\min\{27\,000,\;16\,200\}\\ \text{N}=16\,200\\ \text{N}.
Aqui também o cisalhamento controla.
Comparando os dois extremos:
P_{\text{adm}}(25^\circ)\approx21\,154\\ \text{N} > P_{\text{adm}}(45^\circ)=16\,200\\ \text{N},
logo a máxima carga admissível dentro do intervalo ocorre em \theta=25^\circ.

Resposta

(a) \theta=25^\circ
(b) P_{\max}\approx21\,154\\ \text{N} (ou 21{,}15\\ \text{kN}).

Exercícios relacionados