Três pranchas de madeira são unidas por uma serie de parafusos para formar uma coluna. O diâmetro de cada parafuso é 12 mm e o diâmetro interno de cada arruela é 16 mm , um pouco maior do que o diâmetro dos furos nas pranchas. Determine o menor diâmetro externo d permitido para as arruelas sabendo que a tensão normal média nos parafusos é de 34 MPa e que a tensão de esmagamento entre as arruelas e as pranchas não deve exceder 8 MPa .

Passo 1

O enunciado pede: determinar o menor diâmetro externo \,d\, permitido para as arruelas de modo que a tensão de esmagamento entre arruelas e pranchas não exceda \,8\\ \text{MPa}. As informações dadas são:
  • diâmetro do parafuso: \,12\\ \text{mm};
  • diâmetro interno da arruela: \,16\\ \text{mm} (esse valor eu peguei da figura);
  • tensão normal média no parafuso (tensão axial média no parafuso): \,34\\ \text{MPa};
  • tensão de esmagamento admissível entre arruelas e pranchas: \,8\\ \text{MPa}.
    Não é necessário nenhum outro dado da figura; a área de contato entre arruela e madeira é a área da face da arruela externa ao furo (anél).

Passo 2

Explicação e cálculo da força axial no parafuso. Conceito: a tensão média axial em um elemento é dada por
\sigma=\frac{P}{A},
onde \sigma é a tensão (em \text{MPa}=\text{N}/\text{mm}^2), P é a força axial (em \text{N}) e A é a área da seção transversal (em \text{mm}^2). Aqui aplicamos isso ao parafuso: área da seção do parafuso (assumindo seção circular com diâmetro externo \,12\\ \text{mm}) é
A_{p}=\frac{\pi d_{p}^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot 12^{2}}{4}=36\pi\\ \text{mm}^2\approx 113{,}10\\ \text{mm}^2.
Como a tensão média no parafuso é \sigma_{p}=34\\ \text{MPa}, a força axial P vale
P=\sigma_{p}A_{p}=34\cdot 36\pi\\ \text{N}\approx 34\cdot 113{,}10\\ \text{N}\approx 3{,}845{,}3\\ \text{N}.

Passo 3

Expressar a condição de esmagamento na arruela e montar a equação para \,d. A área de contato entre uma arruela e a prancha é a área do anel entre o diâmetro externo \,d e o diâmetro interno \,d_i=16\\ \text{mm}:
A_{\text{anel}}=\frac{\pi\left(d^{2}-d_i^{2}\right)}{4}.
A tensão de esmagamento sob a arruela é a força P dividida por essa área:
\sigma_{\text{esmag}}=\frac{P}{A_{\text{anel}}}=\frac{4P}{\pi\left(d^{2}-d_i^{2}\right)}.
Para que a tensão não exceda \,8\\ \text{MPa} tomamos a igualdade (caso crítico) e resolvemos para d:
\frac{4P}{\pi\left(d^{2}-d_i^{2}\right)}=8.
Isolando d^{2}:
d^{2}=d_i^{2}+\frac{4P}{\pi\cdot 8}=d_i^{2}+\frac{P}{2\pi}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular d. Usando \,d_i=16\\ \text{mm} e P\approx 3{,}845{,}3\\ \text{N}:
d^{2}=16^{2}+\frac{3{,}845{,}3}{2\pi}=256+\frac{3{,}845{,}3}{6{,}2832}\approx 256+611{,}68\approx 867{,}68\\ \text{mm}^2.
Logo
d\approx\sqrt{867{,}68}\approx 29{,}5\\ \text{mm}.
Interpretação prática: o menor diâmetro externo da arruela deve ser aproximadamente \,29{,}5\\ \text{mm}. Em prática comercial costuma-se arredondar para o próximo tamanho comercial ( \,30\\ \text{mm}).

Resposta

d\approx 29{,}5\\ \text{mm}

Exercícios relacionados