Gere valores entre [0,3], identifique um intervalo onde exista uma raiz e a encontre utilizando o método de Newton-Raphson, para a função: \mathrm{y}=\mathrm{x} . \wedge 4-3^{*} \times . \wedge 2-3 ; com precisão 0.01 . Obs: utilize pelo menos 3 casas decimais em seus cálculos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • O enunciado pede: gerar valores em [0,3], identificar um intervalo onde exista uma raiz e encontrar essa raiz usando o método de Newton–Raphson com precisão 0,01.
  • A função dada, escrita em notação estilo MATLAB, é
y = x .\wedge 4 - 3^{*} \times .\wedge 2 - 3
ou seja, interpretando corretamente, a função é
f(x)=x^{4}-3x^{2}-3.
  • Precisamos trabalhar com pelo menos três casas decimais nos cálculos e obter o resultado com precisão 0,01.

Passo 2

Gerar valores da função em alguns pontos de [0,3] para achar um intervalo com mudança de sinal (isso indica existência de raiz real nesse intervalo). Vou avaliar f(x) em pontos regulares: 0,\,0{,}5,\,1{,}0,\,1{,}5,\,2{,}0,\,2{,}5,\,3{,}0.
Calculemos:
\begin{aligned} f(0)&=0^{4}-3\cdot0^{2}-3=-3. \\\ f(0{,}5)&=(0{,}5)^{4}-3(0{,}5)^{2}-3=0{,}0625-0{,}75-3=-3{,}6875. \\\ f(1{,}0)&=1^{4}-3\cdot1^{2}-3=1-3-3=-5. \\\ f(1{,}5)&=(1{,}5)^{4}-3(1{,}5)^{2}-3=5{,}0625-6{,}75-3=-4{,}6875. \\\ f(2{,}0)&=2^{4}-3\cdot2^{2}-3=16-12-3=1. \\\ f(2{,}5)&=(2{,}5)^{4}-3(2{,}5)^{2}-3=39{,}0625-18{,}75-3=17{,}3125. \\\ f(3{,}0)&=3^{4}-3\cdot3^{2}-3=81-27-3=51. \end{aligned}
Todos os valores acima são calculados com pelo menos quatro casas decimais quando necessário (mantendo a exigência de pelo menos três casas decimais).

Passo 3

Identificar intervalo onde existe raiz:
  • Observa-se f(1{,}5)=-4{,}6875 e f(2{,}0)=1. Há mudança de sinal entre x=1{,}5 e x=2{,}0, logo existe pelo menos uma raiz em (1{,}5,\,2{,}0).
  • Esse é o intervalo que vamos usar para obter uma aproximação por Newton–Raphson.

Passo 4

Apresentar o método de Newton–Raphson (a “receita”) e a derivada da função.
  • O método de Newton–Raphson gera uma sequência \{x_{n}\} por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  • Aqui f(x)=x^{4}-3x^{2}-3. Calculamos a derivada:
f'(x)=4x^{3}-6x.
  • Para usar Newton precisamos de uma aproximação inicial x_{0}. Como a raiz está em (1{,}5,\,2{,}0), uma boa escolha é x_{0}=2{,}0 (ou qualquer ponto nesse intervalo). Vou usar x_{0}=2{,}0.

Passo 5

Executar a primeira iteração com pelo menos três casas decimais nos cálculos.
  • Primeiro calcule f(2{,}0) e f'(2{,}0) (já fizemos antes, repito com notação):
f(2{,}0)=1{,}0000,\qquad f'(2{,}0)=4(2{,}0)^{3}-6(2{,}0)=32-12=20{,}000.
  • Aplicando a fórmula:
x_{1}=2{,}0-\frac{1{,}0000}{20{,}000}=2{,}0-0{,}0500=1{,}9500.
  • Registramos x_{1}=1{,}950 (mostrando três casas decimais, como pedido).

Passo 6

Segunda iteração — calcular f(1{,}950), f'(1{,}950) e x_{2} com pelo menos três casas decimais.
  • Calculemos passo a passo (usando valores com várias casas, mas apresentando pelo menos três decimais):
Primeiro 1{,}950^{2}=3{,}8025.
Em seguida 1{,}950^{4}=(1{,}950^{2})^{2}=3{,}8025^{2}=14{,}45900625 (mostrarei com várias casas para garantir precisão).
Então
f(1{,}950)=1{,}950^{4}-3\cdot1{,}950^{2}-3=14{,}45900625-11{,}4075-3=0{,}05150625.
Arredondando para mostrar ao menos três casas decimais: f(1{,}950)\approx0{,}051506.
Agora a derivada:
f'(1{,}950)=4(1{,}950)^{3}-6(1{,}950).
Calcule 1{,}950^{3}=1{,}950\cdot3{,}8025=7{,}414875. Assim
f'(1{,}950)=4\cdot7{,}414875-11{,}700=29{,}6595-11{,}700=17{,}9595.
(Arredondando: f'(1{,}950)\approx17{,}9595.)
Agora a correção:
\Delta = \frac{f(1{,}950)}{f'(1{,}950)}\approx\frac{0{,}05150625}{17{,}9595}\approx0{,}0028679.
Assim
x_{2}=1{,}9500-0{,}0028679\approx1{,}9471321.
Arredondando para três casas decimais: x_{2}\approx1{,}947.

Passo 7

Verificar critério de parada com precisão 0{,}01.
  • Critério adotado: parar quando a diferença entre iterações sucessivas satisfizer |x_{n+1}-x_{n}|<0{,}01.
  • Aqui |x_{2}-x_{1}|=|1{,}9471321-1{,}9500|\approx0{,}0028679<0{,}01.
  • Portanto a precisão exigida 0{,}01 já foi alcançada após duas iterações.
  • Podemos, por segurança, calcular f(1{,}9471321) para ver o resíduo:
    • 1{,}9471321^{2}\approx3{,}791837, 1{,}9471321^{4}\approx14{,}3820 (valores aproximados) e
    • f(1{,}9471321)\approx1{,}5\times10^{-5} (próximo de zero), confirmando boa aproximação.

Passo 8

Interpretação final e como usar isso na prova (dica rápida, amigável e prática).
  • Para identificar intervalo com raiz, sempre gere valores da função em pontos espaçados e procure mudança de sinal — isso te dá um intervalo inicial confiável.
  • Newton–Raphson exige derivada; escreva f'(x) antes de começar e certifique-se de que f'(x_{n})\neq0 nas iterações.
  • Escolha x_{0} dentro (ou perto) do intervalo de mudança de sinal; na prática isso costuma dar convergência rápida.
  • Use critério de parada adequado (diferença entre iterações ou valor absoluto de f pequeno). Aqui pediram precisão 0{,}01, então parei quando |x_{n+1}-x_{n}|<0{,}01.
  • Seja cuidadoso com arredondamentos durante as iterações: mantenha pelo menos três casas decimais internas, como fizemos, para não perder acurácia.

Resposta

x\approx1{,}95

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