Gere valores entre
, identifique um intervalo onde exista uma raiz e a encontre utilizando o método de Newton-Raphson, para a função:
com precisão 0.01 . Obs: utilize pelo menos 3 casas decimais em seus cálculos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
- O enunciado pede: gerar valores em
, identificar um intervalo onde exista uma raiz e encontrar essa raiz usando o método de Newton–Raphson com precisão . - A função dada, escrita em notação estilo MATLAB, é
ou seja, interpretando corretamente, a função é
- Precisamos trabalhar com pelo menos três casas decimais nos cálculos e obter o resultado com precisão
.
Passo 2
Gerar valores da função em alguns pontos de
para achar um intervalo com mudança de sinal (isso indica existência de raiz real nesse intervalo). Vou avaliar
em pontos regulares:
.
Calculemos:
Todos os valores acima são calculados com pelo menos quatro casas decimais quando necessário (mantendo a exigência de pelo menos três casas decimais).
Passo 3
Identificar intervalo onde existe raiz:
- Observa-se
e . Há mudança de sinal entre e , logo existe pelo menos uma raiz em . - Esse é o intervalo que vamos usar para obter uma aproximação por Newton–Raphson.
Passo 4
Apresentar o método de Newton–Raphson (a “receita”) e a derivada da função.
- O método de Newton–Raphson gera uma sequência
por
- Aqui
. Calculamos a derivada:
- Para usar Newton precisamos de uma aproximação inicial
. Como a raiz está em , uma boa escolha é (ou qualquer ponto nesse intervalo). Vou usar .
Passo 5
Executar a primeira iteração com pelo menos três casas decimais nos cálculos.
- Primeiro calcule
e (já fizemos antes, repito com notação):
- Aplicando a fórmula:
- Registramos
(mostrando três casas decimais, como pedido).
Passo 6
Segunda iteração — calcular
,
e
com pelo menos três casas decimais.
- Calculemos passo a passo (usando valores com várias casas, mas apresentando pelo menos três decimais):
Primeiro
.
Em seguida (mostrarei com várias casas para garantir precisão).
Então
Em seguida
Então
Arredondando para mostrar ao menos três casas decimais:
.
Agora a derivada:
Calcule
. Assim
(Arredondando:
.)
Agora a correção:
Assim
Arredondando para três casas decimais:
.
Passo 7
Verificar critério de parada com precisão
.
- Critério adotado: parar quando a diferença entre iterações sucessivas satisfizer
. - Aqui
. - Portanto a precisão exigida
já foi alcançada após duas iterações. - Podemos, por segurança, calcular
para ver o resíduo: -
, (valores aproximados) e -
(próximo de zero), confirmando boa aproximação.
-
Passo 8
Interpretação final e como usar isso na prova (dica rápida, amigável e prática).
- Para identificar intervalo com raiz, sempre gere valores da função em pontos espaçados e procure mudança de sinal — isso te dá um intervalo inicial confiável.
- Newton–Raphson exige derivada; escreva
antes de começar e certifique-se de que nas iterações. - Escolha
dentro (ou perto) do intervalo de mudança de sinal; na prática isso costuma dar convergência rápida. - Use critério de parada adequado (diferença entre iterações ou valor absoluto de
pequeno). Aqui pediram precisão , então parei quando . - Seja cuidadoso com arredondamentos durante as iterações: mantenha pelo menos três casas decimais internas, como fizemos, para não perder acurácia.