QUESTÃO 3
Em um estudo de estabilidade de um terreno, a altura (em metros) de uma superficie é modelada pela função
onde xe yrepresentam as coordenadas horizontais (em metros).
Um engenheiro analisa a variação da inclinação no ponto
, na direção do vetor
, que representa a direção de escoamento da água da chuva.
Calcule a derivada direcional da função
no ponto
na direção de
.
Um engenheiro analisa a variação da inclinação no ponto
Calcule a derivada direcional da função
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que vem do enunciado):
- A função altura é
. - O ponto onde vamos avaliar é
. - A direção de escoamento da água é dada pelo vetor
. - O que o enunciado pede: calcular a derivada direcional de
no ponto na direção de .
Passo 2
Entendendo o que é a derivada direcional e como vamos calcular. Vou explicar isso passo a passo, como se fosse a receita da prova.
- A derivada direcional de
no ponto na direção de um vetor unitário mede a taxa de variação de quando nos movemos a partir de naquela direção por unidade de comprimento. - A fórmula prática que usaremos é
onde:
-
é o gradiente de em (um vetor que aponta na direção do máximo crescimento de ); -
é o vetor unitário que indica a direção (tem comprimento ); -
denota o produto escalar entre vetores. - Observação importante: se o enunciado dá um vetor
que não é unitário (como aqui), primeiro normalizamos: .
Passo 3
Calcular o gradiente
. Vou mostrar como obter cada componente (a conta da prova).
- Definição do gradiente:
- Calcular as derivadas parciais:
-
.
Explicação: tratamoscomo constante e derivamos . -
.
Explicação:é constante em relação a , e .
-
- Assim,
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
- Substituindo
e :
- Interpretação rápida: em
o vetor aponta na direção do aumento mais rápido da altitude; seus componentes são as inclinações parciais nas direções e .
Passo 5
Normalizar o vetor de direção
para obter o vetor unitário
.
- Comprimento (norma) de
:
- Vetor unitário na direção de
:
- Observação: sempre normalizar é obrigatório porque a definição da derivada direcional pede vetor de comprimento
.
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar entre
e
.
- Aplicando a fórmula:
- Fazer o produto escalar componente a componente:
- Simplificar a fração racionalizando (opcional, mas comum na prova):
Passo 7
Interpretação final e incentivo rápido.
- O valor
representa a taxa de variação da altura por metro percorrido na direção do vetor a partir do ponto . Como é positivo, a superfície está subindo nessa direção (a água estaria subindo, o que fisicamente indica que o escoamento segue para áreas de menor altura; aqui só estamos medindo a inclinação). - Boa! Você acabou de seguir exatamente os passos que vale na prova: calcular gradiente, normalizar o vetor e fazer o produto escalar. Repete esse procedimento em outros exercícios que eu aposto que você pega o jeito rapidinho.