QUESTÃO 3

Em um estudo de estabilidade de um terreno, a altura (em metros) de uma superficie é modelada pela função
h(x, y)=x^{2}+2 y^{2}
onde xe yrepresentam as coordenadas horizontais (em metros).
Um engenheiro analisa a variação da inclinação no ponto P(1,1), na direção do vetor \vec{v}=(1,2), que representa a direção de escoamento da água da chuva.
Calcule a derivada direcional da função h(x, y) no ponto P na direção de \vec{v}.

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que vem do enunciado):
  • A função altura é h(x,y)=x^{2}+2y^{2}.
  • O ponto onde vamos avaliar é P(1,1).
  • A direção de escoamento da água é dada pelo vetor \vec{v}=(1,2).
  • O que o enunciado pede: calcular a derivada direcional de h no ponto P na direção de \vec{v}.

Passo 2

Entendendo o que é a derivada direcional e como vamos calcular. Vou explicar isso passo a passo, como se fosse a receita da prova.
  • A derivada direcional de h no ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de h quando nos movemos a partir de P naquela direção por unidade de comprimento.
  • A fórmula prática que usaremos é
D_{\mathbf{u}}h(P)=\nabla h(P)\cdot\mathbf{u},
onde:
  • \nabla h(P) é o gradiente de h em P (um vetor que aponta na direção do máximo crescimento de h);
  • \mathbf{u} é o vetor unitário que indica a direção (tem comprimento 1);
  • \cdot denota o produto escalar entre vetores.
  • Observação importante: se o enunciado dá um vetor \vec{v} que não é unitário (como aqui), primeiro normalizamos: \mathbf{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.

Passo 3

Calcular o gradiente \nabla h(x,y). Vou mostrar como obter cada componente (a conta da prova).
  • Definição do gradiente:
\nabla h(x,y)=\left(\frac{\partial h}{\partial x},\;\frac{\partial h}{\partial y}\right).
  • Calcular as derivadas parciais:
    • \displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)=2x.
      Explicação: tratamos y como constante e derivamos x^{2}.
    • \displaystyle \frac{\partial h}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)=4y.
      Explicação: x^{2} é constante em relação a y, e \frac{d}{dy}(2y^{2})=4y.
  • Assim,
\nabla h(x,y)=(2x,\;4y).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P(1,1).
  • Substituindo x=1 e y=1:
\nabla h(1,1)=(2\cdot1,\;4\cdot1)=(2,\;4).
  • Interpretação rápida: em P o vetor (2,4) aponta na direção do aumento mais rápido da altitude; seus componentes são as inclinações parciais nas direções x e y.

Passo 5

Normalizar o vetor de direção \vec{v}=(1,2) para obter o vetor unitário \mathbf{u}.
  • Comprimento (norma) de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
  • Vetor unitário na direção de \vec{v}:
\mathbf{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\;\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
  • Observação: sempre normalizar é obrigatório porque a definição da derivada direcional pede vetor de comprimento 1.

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar entre \nabla h(1,1) e \mathbf{u}.
  • Aplicando a fórmula:
D_{\mathbf{u}}h(1,1)=\nabla h(1,1)\cdot\mathbf{u}=(2,4)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
  • Fazer o produto escalar componente a componente:
D_{\mathbf{u}}h(1,1)=\frac{2\cdot1+4\cdot2}{\sqrt{5}}=\frac{2+8}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}.
  • Simplificar a fração racionalizando (opcional, mas comum na prova):
\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}.

Passo 7

Interpretação final e incentivo rápido.
  • O valor D_{\mathbf{u}}h(1,1)=2\sqrt{5} representa a taxa de variação da altura por metro percorrido na direção do vetor \vec{v} a partir do ponto P. Como é positivo, a superfície está subindo nessa direção (a água estaria subindo, o que fisicamente indica que o escoamento segue para áreas de menor altura; aqui só estamos medindo a inclinação).
  • Boa! Você acabou de seguir exatamente os passos que vale na prova: calcular gradiente, normalizar o vetor e fazer o produto escalar. Repete esse procedimento em outros exercícios que eu aposto que você pega o jeito rapidinho.

Resposta

2\sqrt{5}

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