QUESTÃO 4

Em um projeto de drenagem urbana, a superficie de um terreno é modelada pela função (em metros):
h(x, y)=x^{2}+x y+y^{2}
onde x e y representam as coordenadas horizontais do terreno.
Um engenheiro está analisando o comportamento do escoamento da água no ponto P(1,2). Sabese que a água tende a escoar na direção de maior declive da superficie.
Determine a derivada direcional no ponto P na direção do vetor \vec{v}=(2,-1).

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função altura do terreno h(x,y)=x^{2}+x y+y^{2}.
  • O ponto de interesse P=(1,2).
  • O vetor de direção \vec{v}=(2,-1).
O que é pedido:
  • Determinar a derivada direcional de h no ponto P na direção do vetor \vec{v}, isto é, o valor da taxa de variação de h em P ao mover-se na direção de \vec{v}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A derivada direcional de uma função escalar h(x,y) em um ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de h por unidade de comprimento quando seguimos essa direção.
  • A fórmula é
D_{\mathbf{u}}h(P)=\nabla h(P)\cdot \mathbf{u},
onde \nabla h(P) é o gradiente de h em P (um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de h em P) e \cdot é o produto escalar.
  • Importante: a direção precisa ser um vetor unitário. Se apenas um vetor qualquer \vec{v} for dado, primeiro transformamos em \mathbf{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}, onde \|\vec{v}\| é o comprimento (norma) de \vec{v}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de h (isto dá o gradiente):
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial h}{\partial x}=2x+y,
porque derivando x^{2} 2x, derivando xy em relação a x y, e y^{2} é constante em x.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial h}{\partial y}=x+2y,
porque derivando y^{2} 2y, derivando xy em relação a y x, e x^{2} é constante em y.
Portanto o gradiente geral é
\nabla h(x,y) = \big(2x+y,\; x+2y\big).

Passo 4

Avaliar o gradiente em P=(1,2):
\nabla h(1,2)=\big(2\cdot1+2,\; 1+2\cdot2\big)=\big(4,\;5\big).
Interpretação curta: \nabla h(1,2)=(4,5) aponta para a direção de subida mais acentuada em P e suas componentes são as taxas de variação nas direções x e y.

Passo 5

Converter \vec{v}=(2,-1) em vetor unitário \mathbf{u}:
  • Norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
  • Vetor unitário correspondente:
\mathbf{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\;-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
Lembrete: precisamos do vetor unitário porque a derivada direcional mede taxa por unidade de comprimento.

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar:
D_{\mathbf{u}}h(1,2)=\nabla h(1,2)\cdot \mathbf{u}=(4,5)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
Fazendo o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}h(1,2)=\frac{4\cdot2+5\cdot(-1)}{\sqrt{5}}=\frac{8-5}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}.
Pode também escrever-se de forma racionalizada:
D_{\mathbf{u}}h(1,2)=\frac{3\sqrt{5}}{5}.
Interpretação física curta (útil na prova): como a derivada direcional é positiva nesse sentido, mover-se na direção \vec{v} faz a altura aumentar (subida). A água tende a escoar na direção de maior declive (descida), que é a direção oposta ao gradiente; portanto a água escorreria na direção de -\nabla h (não era pedido calcular isso, só uma observação física).

Resposta

\dfrac{3}{\sqrt{5}}

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