QUESTÃO 4
Em um projeto de drenagem urbana, a superficie de um terreno é modelada pela função (em metros):
onde
e
representam as coordenadas horizontais do terreno.
Um engenheiro está analisando o comportamento do escoamento da água no ponto
. Sabese que a água tende a escoar na direção de maior declive da superficie.
Determine a derivada direcional no ponto
na direção do vetor
.
Um engenheiro está analisando o comportamento do escoamento da água no ponto
Determine a derivada direcional no ponto
Passo 1
O enunciado dá:
- A função altura do terreno
. - O ponto de interesse
. - O vetor de direção
.
O que é pedido:
- Determinar a derivada direcional de
no ponto na direção do vetor , isto é, o valor da taxa de variação de em ao mover-se na direção de .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- A derivada direcional de uma função escalar
em um ponto na direção de um vetor unitário mede a taxa de variação de por unidade de comprimento quando seguimos essa direção. - A fórmula é
onde
é o gradiente de
em
(um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
em
) e
é o produto escalar.
- Importante: a direção precisa ser um vetor unitário. Se apenas um vetor qualquer
for dado, primeiro transformamos em , onde é o comprimento (norma) de .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(isto dá o gradiente):
- Derivada parcial em relação a
:
porque derivando
dá
, derivando
em relação a
dá
, e
é constante em
.
- Derivada parcial em relação a
:
porque derivando
dá
, derivando
em relação a
dá
, e
é constante em
.
Portanto o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente em
:
Interpretação curta:
aponta para a direção de subida mais acentuada em
e suas componentes são as taxas de variação nas direções
e
.
Passo 5
Converter
em vetor unitário
:
- Norma de
:
- Vetor unitário correspondente:
Lembrete: precisamos do vetor unitário porque a derivada direcional mede taxa por unidade de comprimento.
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar:
Fazendo o produto escalar:
Pode também escrever-se de forma racionalizada:
Interpretação física curta (útil na prova): como a derivada direcional é positiva nesse sentido, mover-se na direção
faz a altura aumentar (subida). A água tende a escoar na direção de maior declive (descida), que é a direção oposta ao gradiente; portanto a água escorreria na direção de
(não era pedido calcular isso, só uma observação física).