Gere valores entre [-3,-1], identifique um intervalo onde exista uma raiz e a encontre utilizando o método da Bisseção, para a função: \mathrm{y}=(\mathrm{x} . \wedge 4)-\left(3^{\star}(\mathrm{x} . \wedge 2)\right)-2 com precisão 0.01. Obs.: utilize pelo menos 3 casas decimais em seus cálculos.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: gerar valores da função no intervalo [-3,-1], identificar um subintervalo onde exista uma raiz (ou seja, um ponto onde a função muda de sinal) e, a partir desse subintervalo, encontrar a raiz usando o método da bisseção com precisão 0,01. A função dada (interpreto a notação fornecida como potência e multiplicação) é
y = x^{4} - 3x^{2} - 2.
Informações dadas e decisões iniciais:
  • Intervalo para gerar valores: [-3,-1].
  • Critério para detectar uma raiz: mudança de sinal de y entre dois pontos (Teorema do Valor Intermediário).
  • Método pedido: bisseção, com precisão final 0,01.
  • Observação óbvia: vou usar pelo menos três casas decimais nos cálculos e arredondamentos intermediários, mas o resultado será fornecido com precisão 0,01.

Passo 2

Breve explicação didática do método da bisseção (praquele empurrãozinho teórico, sem assustar).
  • Ideia: se uma função contínua f tem f(a)\cdot f(b)<0, então há pelo menos uma raiz em [a,b].
  • Bisseção: calcula o ponto médio c=(a+b)/2. Se f\text{(c)}=0 acabou. Se f(a)\cdot f\text{(c)}<0 a raiz está em [a,c]; senão está em [c,b]. Repetir até o intervalo ser suficientemente pequeno.
  • Critério de parada que vou usar: comprimento do intervalo b-a \le 0{,}01 (isso garante que qualquer ponto dentro dele está a menos de 0{,}01 da raiz real). Em cada iteração eu mostro a, b, c e f\text{(c)} com pelo menos três casas decimais.

Passo 3

Geração de valores de f(x)=x^{4}-3x^{2}-2 em pontos uniformes entre -3 e -1. Vou tomar passos de 0{,}25 para cobrir bem o intervalo. Calcularei x^{2}, x^{4} e y, apresentando y com três casas decimais.
  • Para x=-3{,}000:
    x^{2}=9{,}000,\quad x^{4}=81{,}000,\quad y=81{,}000-3\cdot9{,}000-2=52{,}000.
    Logo f(-3{,}000)=52{,}000.
  • Para x=-2{,}750:
    x^{2}=7{,}5625,\quad x^{4}=57{,}19140625,\quad y=57{,}19140625-3\cdot7{,}5625-2=32{,}50390625.
    \Rightarrow f(-2{,}750)\approx32{,}504.
  • Para x=-2{,}500:
    x^{2}=6{,}2500,\quad x^{4}=39{,}0625,\quad y=39{,}0625-3\cdot6{,}2500-2=18{,}3125.
    \Rightarrow f(-2{,}500)\approx18{,}313.
  • Para x=-2{,}250:
    x^{2}=5{,}0625,\quad x^{4}=25{,}62890625,\quad y=25{,}62890625-3\cdot5{,}0625-2=8{,}44140625.
    \Rightarrow f(-2{,}250)\approx8{,}441.
  • Para x=-2{,}000:
    x^{2}=4{,}000,\quad x^{4}=16{,}000,\quad y=16{,}000-3\cdot4{,}000-2=2{,}000.
    \Rightarrow f(-2{,}000)=2{,}000.
  • Para x=-1{,}750:
    x^{2}=3{,}0625,\quad x^{4}=9{,}37890625,\quad y=9{,}37890625-3\cdot3{,}0625-2=-1{,}80859375.
    \Rightarrow f(-1{,}750)\approx-1{,}809.
  • Para x=-1{,}500:
    x^{2}=2{,}2500,\quad x^{4}=5{,}0625,\quad y=5{,}0625-3\cdot2{,}2500-2=-3{,}6875.
    \Rightarrow f(-1{,}500)\approx-3{,}688.
  • Para x=-1{,}250:
    x^{2}=1{,}5625,\quad x^{4}=2{,}44140625,\quad y=2{,}44140625-3\cdot1{,}5625-2=-4{,}24609375.
    \Rightarrow f(-1{,}250)\approx-4{,}246.
  • Para x=-1{,}000:
    x^{2}=1{,}000,\quad x^{4}=1{,}000,\quad y=1-3\cdot1-2=-4{,}000.
    \Rightarrow f(-1{,}000)=-4{,}000.
Observação importante (detectar mudança de sinal): entre x=-2{,}000 temos f(-2{,}000)=+2{,}000 e em x=-1{,}750 temos f(-1{,}750)\approx-1{,}809. Como os sinais são opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em [-2{,}000,\,-1{,}750]. Esse será o intervalo inicial para aplicar a bisseção.

Passo 4

Aplicação do método da bisseção no intervalo inicial [a,b]=[-2{,}000,\,-1{,}750]. Vou mostrar cada iteração até que b-a \le 0{,}01. Em cada linha: a, f(a), b, f(b), c=(a+b)/2, f\text{(c)}. Apresento f com pelo menos três casas decimais.
  • Iteração 1: a=-2{,}000,\quad f(a)=2{,}000;\qquad b=-1{,}750,\quad f(b)=-1{,}809.
c=-1{,}875,\quad f\text{(c)}=(-1{,}875)^{4}-3(-1{,}875)^{2}-2\approx-0{,}187.
Como f(a)\cdot f\text{(c)}<0 (positivo/negativo), a raiz está em [-2{,}000,\,-1{,}875]. Atualizo b\gets c.
  • Iteração 2: a=-2{,}000,\quad f(a)=2{,}000;\qquad b=-1{,}875,\quad f(b)\approx-0{,}187.
c=-1{,}9375,\quad f\text{(c)}\approx0{,}830.
Agora f\text{(c)}>0, então a raiz está em [-1{,}9375,\,-1{,}875]. Atualizo a\gets c.
  • Iteração 3: a=-1{,}9375,\quad f(a)\approx0{,}830;\qquad b=-1{,}875,\quad f(b)\approx-0{,}187.
c=-1{,}90625,\quad f\text{(c)}\approx0{,}300.
Sinais: f(a)>0, f\text{(c)}>0, f(b)<0. Raiz em [-1{,}90625,\,-1{,}875]. Atualizo a\gets c.
  • Iteração 4: a=-1{,}90625,\quad f(a)\approx0{,}300;\qquad b=-1{,}875,\quad f(b)\approx-0{,}187.
c=-1{,}890625,\quad f\text{(c)}\approx0{,}052.
Sinais indicam raiz em [-1{,}890625,\,-1{,}875]. Atualizo a\gets c.
  • Iteração 5: a=-1{,}890625,\quad f(a)\approx0{,}052;\qquad b=-1{,}875,\quad f(b)\approx-0{,}187.
c=-1{,}8828125,\quad f\text{(c)}\approx-0{,}068.
Agora f(a)>0 e f\text{(c)}<0, então a raiz está em [-1{,}890625,\,-1{,}8828125].
Cálculo do comprimento do intervalo final:
b-a = -1{,}8828125 - (-1{,}890625) = 0{,}0078125,
que é menor que a precisão requisitada 0{,}01. Portanto podemos parar.
A aproximação final da raiz é o ponto médio do intervalo final:
x_{\text{aprox}}=\frac{-1{,}890625 + (-1{,}8828125)}{2} = -1{,}88671875.
Com precisão 0{,}01 (duas casas decimais) este valor corresponde a -1{,}89.

Resposta

Intervalo detectado com mudança de sinal: [-2{,}000,\,-1{,}750]
Intervalo final obtido pela bisseção (com b-a\le0{,}01): [-1{,}890625,\,-1{,}8828125]
Raiz aproximada com precisão 0{,}01: -1{,}89

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