Gere valores entre
, identifique um intervalo onde exista uma raiz e a encontre utilizando o método da Bisseção, para a função:
com precisão 0.01. Obs.: utilize pelo menos 3 casas decimais em seus cálculos.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: gerar valores da função no intervalo
, identificar um subintervalo onde exista uma raiz (ou seja, um ponto onde a função muda de sinal) e, a partir desse subintervalo, encontrar a raiz usando o método da bisseção com precisão
. A função dada (interpreto a notação fornecida como potência e multiplicação) é
Informações dadas e decisões iniciais:
- Intervalo para gerar valores:
. - Critério para detectar uma raiz: mudança de sinal de
entre dois pontos (Teorema do Valor Intermediário). - Método pedido: bisseção, com precisão final
. - Observação óbvia: vou usar pelo menos três casas decimais nos cálculos e arredondamentos intermediários, mas o resultado será fornecido com precisão
.
Passo 2
Breve explicação didática do método da bisseção (praquele empurrãozinho teórico, sem assustar).
- Ideia: se uma função contínua
tem , então há pelo menos uma raiz em . - Bisseção: calcula o ponto médio
. Se acabou. Se a raiz está em ; senão está em . Repetir até o intervalo ser suficientemente pequeno. - Critério de parada que vou usar: comprimento do intervalo
(isso garante que qualquer ponto dentro dele está a menos de da raiz real). Em cada iteração eu mostro , , e com pelo menos três casas decimais.
Passo 3
Geração de valores de
em pontos uniformes entre
e
. Vou tomar passos de
para cobrir bem o intervalo. Calcularei
,
e
, apresentando
com três casas decimais.
-
Para
: Logo. -
Para
: . -
Para
: . -
Para
: . -
Para
: . -
Para
: . -
Para
: . -
Para
: . -
Para
: .
Observação importante (detectar mudança de sinal): entre
temos
e em
temos
. Como os sinais são opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
. Esse será o intervalo inicial para aplicar a bisseção.
Passo 4
Aplicação do método da bisseção no intervalo inicial
. Vou mostrar cada iteração até que
. Em cada linha:
,
,
,
,
,
. Apresento
com pelo menos três casas decimais.
- Iteração 1:
Como
(positivo/negativo), a raiz está em
. Atualizo
.
- Iteração 2:
Agora
, então a raiz está em
. Atualizo
.
- Iteração 3:
Sinais:
,
,
. Raiz em
. Atualizo
.
- Iteração 4:
Sinais indicam raiz em
. Atualizo
.
- Iteração 5:
Agora
e
, então a raiz está em
.
Cálculo do comprimento do intervalo final:
que é menor que a precisão requisitada
. Portanto podemos parar.
A aproximação final da raiz é o ponto médio do intervalo final:
Com precisão
(duas casas decimais) este valor corresponde a
.
Resposta
Intervalo detectado com mudança de sinal:
Intervalo final obtido pela bisseção (com ):
Raiz aproximada com precisão :
Intervalo final obtido pela bisseção (com
Raiz aproximada com precisão