Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigênio c num rio, em função da distância x, medida a partir do local de descarga de poluentes: c(x)=10-20^{\star}\left(\exp \left(-0.3^{\star} x\right)-\exp \left(-0.75^{\star} x\right)\right). Faça uma estimativa a fim de determinar o intervalo inteiro o qual apresenta uma distância aproximada na qual a concentração de oxigênio seja maior ou igual a 5, após atingir seu valor mínimo de concentração.
Resposta
a. (1,2)
b. (5,6)
c. (3,4)
d. (4,5)
e. (2,3)

Passo 1

O enunciado dá a função de concentração
c(x)=10-20\bigl(\exp(-0{,}3x)-\exp(-0{,}75x)\bigr)
onde x é a distância a partir do ponto de descarga. A pergunta pede: depois que a concentração atinge seu valor mínimo, em qual dos intervalos inteiros listados ocorre uma distância aproximada em que c(x)\ge 5? As alternativas são:
a. (1,2) \quad b. (5,6) \quad c. (3,4) \quad d. (4,5) \quad e. (2,3).

Passo 2

Primeiro entender o comportamento de c(x) para localizar o mínimo:
  • Em x=0:
c(0)=10-20(1-1)=10.
  • Quando x\to\infty, ambos os exponenciais tendem a zero, então \displaystyle\lim_{x\to\infty}c(x)=10. Logo a função parte de 10, desce, atinge um mínimo e volta para 10.
    Para achar o ponto crítico calculamos a derivada. Seja g(x)=\exp(-0{,}3x)-\exp(-0{,}75x). Então
g'(x)=-0{,}3\exp(-0{,}3x)+0{,}75\exp(-0{,}75x),
e
c'(x)=-20\,g'(x)=-20\bigl(-0{,}3\exp(-0{,}3x)+0{,}75\exp(-0{,}75x)\bigr).
Zerando c'(x) obtemos a condição dos pontos críticos:
-0{,}3\exp(-0{,}3x)+0{,}75\exp(-0{,}75x)=0
ou, rearranjando,
0{,}75\exp(-0{,}75x)=0{,}3\exp(-0{,}3x).

Passo 3

Resolver a equação do passo anterior:
\frac{\exp(-0{,}75x)}{\exp(-0{,}3x)}=\frac{0{,}3}{0{,}75}\quad\Rightarrow\quad \exp(-0{,}45x)=\frac{2}{5}.
Aplicando logaritmo:
-0{,}45x=\ln\!\left(\tfrac{2}{5}\right)\quad\Rightarrow\quad x_{\min}=-\frac{\ln(2/5)}{0{,}45}.
Calculando numericamente \ln(2/5)=\ln(0{,}4)\approx-0{,}916291, obtemos
x_{\min}\approx\frac{0{,}916291}{0{,}45}\approx2{,}036.
Verificação rápida do tipo de ponto: calcula-se c''(x)=-20\,g''(x) com
g''(x)=0{,}09\exp(-0{,}3x)-0{,}5625\exp(-0{,}75x).
Em x\approx2{,}036 temos g''(x)\approx-0{,}0734, logo c''(x)=-20g''(x)>0, confirmando que é mínimo. O valor mínimo é
c(x_{\min})\approx 10-20\bigl(0{,}5434-0{,}2175\bigr)\approx10-20(0{,}3259)\approx3{,}48,
ou seja, c_{\min}\approx3{,}48<5.

Passo 4

Agora procuramos a primeira posição, depois do mínimo, em que c(x)=5. Igualando:
10-20\bigl(\exp(-0{,}3x)-\exp(-0{,}75x)\bigr)=5
\Rightarrow\quad \exp(-0{,}3x)-\exp(-0{,}75x)=0{,}25.
Faça a substituição \displaystyle a=\exp(-0{,}3x). Observando que \exp(-0{,}75x)=\exp(-0{,}3x)^{2{,}5}=a^{2{,}5}, obtemos a equação em a:
a-a^{2{,}5}=0{,}25.
Essa equação não tem solução fechada simples, então resolvemos numericamente por tentativa/afunilamento. Testes rápidos:
  • a=0{,}3\Rightarrow 0{,}3-0{,}3^{2{,}5}\approx0{,}3-0{,}0495\approx0{,}2505 (um pouco maior que 0{,}25),
  • a=0{,}299\Rightarrow 0{,}299-0{,}299^{2{,}5}\approx0{,}299-0{,}0492\approx0{,}2498 (um pouco menor).
    Daí a\approx0{,}2996 resolve a equação com boa precisão.

Passo 5

Voltando para x:
a=\exp(-0{,}3x)\approx0{,}2996\quad\Rightarrow\quad -0{,}3x=\ln(0{,}2996)\approx-1{,}2059
\Rightarrow\quad x\approx\frac{1{,}2059}{0{,}3}\approx4{,}020.
Esse é o primeiro ponto, depois do mínimo em x\approx2{,}036, onde c(x)=5. Para x>4{,}020 a concentração fica \ge 5. O valor x\approx4{,}02 pertence ao intervalo (4,5).

Passo 6

Interpretação final: a distância aproximada, após o mínimo, em que a concentração volta a ser pelo menos 5 está em (4,5). Escolha correspondente é a alternativa (d).

Resposta

(d)

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