Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigênio c num rio, em função da distância x, medida a partir do local de descarga de poluentes:
. Faça uma estimativa a fim de determinar o intervalo inteiro o qual apresenta uma distância aproximada na qual a concentração de oxigênio seja maior ou igual a 5, após atingir seu valor mínimo de concentração.
Resposta
a.
b.
c.
d.
e.
Resposta
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado dá a função de concentração
onde
é a distância a partir do ponto de descarga. A pergunta pede: depois que a concentração atinge seu valor mínimo, em qual dos intervalos inteiros listados ocorre uma distância aproximada em que
? As alternativas são:
a. \quad b.
\quad c.
\quad d.
\quad e.
.
a.
Passo 2
Primeiro entender o comportamento de
para localizar o mínimo:
- Em
:
- Quando
, ambos os exponenciais tendem a zero, então . Logo a função parte de , desce, atinge um mínimo e volta para .
Para achar o ponto crítico calculamos a derivada. Seja. Então
e
Zerando
obtemos a condição dos pontos críticos:
ou, rearranjando,
Passo 3
Resolver a equação do passo anterior:
Aplicando logaritmo:
Calculando numericamente
, obtemos
Verificação rápida do tipo de ponto: calcula-se
com
Em
temos
, logo
, confirmando que é mínimo. O valor mínimo é
ou seja,
.
Passo 4
Agora procuramos a primeira posição, depois do mínimo, em que
. Igualando:
Faça a substituição
. Observando que
, obtemos a equação em
:
Essa equação não tem solução fechada simples, então resolvemos numericamente por tentativa/afunilamento. Testes rápidos:
-
(um pouco maior que ), -
(um pouco menor).
Daíresolve a equação com boa precisão.
Passo 5
Voltando para
:
Esse é o primeiro ponto, depois do mínimo em
, onde
. Para
a concentração fica
. O valor
pertence ao intervalo
.
Passo 6
Interpretação final: a distância aproximada, após o mínimo, em que a concentração volta a ser pelo menos
está em
. Escolha correspondente é a alternativa (d).
Resposta
(d)