Gere valores no intervalo [1, 5] e encontre uma raiz, utilizando o método da Posição Falsa, para a função: y=x . \wedge 2-\log 10(x)-3; com precisão 0.001 . Obs.: Utilize pelo menos 4 casas decimais nos cálculos.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e os dados que temos.
  • A função dada (interpretei a notação) é f(x)=x^{2}-\log_{10}(x)-3.
  • O intervalo onde vamos procurar raiz é [1,5].
  • Pede-se encontrar uma raiz usando o método da Posição Falsa (regula falsi) com precisão 0{,}001.
  • Observação importante: vou usar pelo menos 4 casas decimais nos cálculos intermediários, como você pediu.
  • Critério de parada que adoto: paro quando a diferença entre duas aproximações sucessivas de raiz \,x_r\,$ for menor que \(0{,}001 (ou seja |x_{r}^{(k)}-x_{r}^{(k-1)}|<0{,}001). Também monitoro o sinal de f(x_r).
Informações iniciais geradas no intervalo (avaliei os extremos):
  • f(1)=1^{2}-\log_{10}(1)-3=1-0-3=-2.
  • f(5)=5^{2}-\log_{10}(5)-3=25-\log_{10}(5)-3=22-\log_{10}(5). Usando \log_{10}(5)\approx0{,}69897 (4 casas decimais: 0{,}69897), obtém-se f(5)\approx21{,}30103>0.
Como f(1) é negativo e f(5) é positivo, existe pelo menos uma raiz em [1,5] por mudança de sinal. Agora aplicamos a Posição Falsa.)

Passo 2

Explico o método da Posição Falsa (regula falsi) de forma prática e a fórmula que vamos usar.
  • Suponha um intervalo [x_{\ell},x_{u}] com f(x_{\ell})\cdot f(x_{u})<0.
  • A Posição Falsa aproxima a raiz pela interseção da reta que liga (x_{\ell},f(x_{\ell})) a (x_{u},f(x_{u})) com o eixo x. A fórmula é
x_{r}=\frac{x_{\ell}\,f(x_{u})-x_{u}\,f(x_{\ell})}{f(x_{u})-f(x_{\ell})}.
  • Depois avalia-se f(x_{r}). Se f(x_{\ell})\cdot f(x_{r})<0 substitui-se x_{u}\leftarrow x_{r}; caso contrário ( f(x_{r})\cdot f(x_{u})<0) substitui-se x_{\ell}\leftarrow x_{r}. Repetir até atingir o critério de parada.
  • Nota: todas as operações numéricas nas iterações eu apresento com pelo menos 4 casas decimais.
Agora fazemos as iterações.

Passo 3

Iteração 1 (inicial):
  • x_{\ell}=1{,}0000,\; x_{u}=5{,}0000.
  • f(x_{\ell})=f(1)= -2{,}0000.
  • f(x_{u})=f(5)=22-\log_{10}(5)\approx21{,}30103.
Calcule x_{r} pela fórmula:
x_{r}=\frac{1{,}0000\cdot21{,}30103-5{,}0000\cdot(-2{,}0000)}{21{,}30103-(-2{,}0000)} =\frac{21{,}30103+10{,}0000}{23{,}30103} =\frac{31{,}30103}{23{,}30103}\approx1{,}3429.
Avaliação de f em x_{r}:
  • x_{r}^{2}\approx1{,}3429^{2}=1{,}80338041.
  • \log_{10}(1{,}3429)\approx0{,}1282 (4 casas: 0{,}1282).
  • f(1{,}3429)\approx1{,}80338041-0{,}1282-3\approx-1{,}3248 (negativo).
Como f(x_{\ell}) e f(x_{r}) têm o mesmo sinal (ambos negativos), atualizamos x_{\ell}\leftarrow x_{r}.
Novo intervalo: [1{,}3429,\;5{,}0000].

Passo 4

Iteração 2:
  • x_{\ell}=1{,}3429,\;x_{u}=5{,}0000.
  • f(x_{\ell})\approx-1{,}3248,\; f(x_{u})\approx21{,}30103.
Calcule x_{r}:
x_{r}=\frac{1{,}3429\cdot21{,}30103-5{,}0000\cdot(-1{,}3248)}{21{,}30103-(-1{,}3248)} \approx\frac{28{,}60515+6{,}62410}{22{,}62585}\approx1{,}5570.
Avaliação:
  • 1{,}5570^{2}\approx2{,}424249.
  • \log_{10}(1{,}5570)\approx0{,}1923.
  • f(1{,}5570)\approx2{,}424249-0{,}1923-3\approx-0{,}7680 (negativo).
Mantém-se sinal negativo; atualiza-se x_{\ell}\leftarrow1{,}5570.
Novo intervalo: [1{,}5570,\;5{,}0000].

Passo 5

Iteração 3:
  • x_{\ell}=1{,}5570,\;x_{u}=5{,}0000.
  • f(x_{\ell})\approx-0{,}7680,\; f(x_{u})\approx21{,}30103.
Calcule x_{r}:
x_{r}\approx\frac{1{,}5570\cdot21{,}30103-5\cdot(-0{,}7680)}{21{,}30103-(-0{,}7680)}\approx1{,}6768.
Avaliação:
  • 1{,}6768^{2}\approx2{,}81165824.
  • \log_{10}(1{,}6768)\approx0{,}2245.
  • f(1{,}6768)\approx2{,}81165824-0{,}2245-3\approx-0{,}4128 (negativo).
Atualiza x_{\ell}\leftarrow1{,}6768.
Novo intervalo: [1{,}6768,\;5{,}0000].

Passo 6

Iteração 4:
  • x_{\ell}=1{,}6768,\;x_{u}=5{,}0000.
  • f(x_{\ell})\approx-0{,}4128,\; f(x_{u})\approx21{,}30103.
Calcule x_{r}:
x_{r}\approx1{,}7402.
Avaliação:
  • 1{,}7402^{2}\approx3{,}02829604.
  • \log_{10}(1{,}7402)\approx0{,}2406.
  • f(1{,}7402)\approx3{,}02829604-0{,}2406-3\approx-0{,}2123 (negativo).
Atualiza x_{\ell}\leftarrow1{,}7402.
Novo intervalo: [1{,}7402,\;5{,}0000].

Passo 7

Iteração 5:
  • x_{\ell}=1{,}7402,\;x_{u}=5.
  • f(x_{\ell})\approx-0{,}2123,\; f(x_{u})\approx21{,}30103.
Calcule x_{r}:
x_{r}\approx1{,}7724.
Avaliação:
  • 1{,}7724^{2}\approx3{,}14140176.
  • \log_{10}(1{,}7724)\approx0{,}2484.
  • f(1{,}7724)\approx3{,}14140176-0{,}2484-3\approx-0{,}1070 (negativo).
Atualiza x_{\ell}\leftarrow1{,}7724.
Novo intervalo: [1{,}7724,\;5{,}0000].

Passo 8

Iteração 6:
  • x_{\ell}=1{,}7724,\;x_{u}=5.
  • f(x_{\ell})\approx-0{,}1070,\; f(x_{u})\approx21{,}30103.
Calcule x_{r}:
x_{r}\approx1{,}7890.
Avaliação:
  • 1{,}7890^{2}\approx3{,}20052100.
  • \log_{10}(1{,}7890)\approx0{,}25253.
  • f(1{,}7890)\approx3{,}20052100-0{,}25253-3\approx-0{,}05201 (negativo).
Atualiza x_{\ell}\leftarrow1{,}7890.
Novo intervalo: [1{,}7890,\;5{,}0000].

Passo 9

Iteração 7:
  • x_{\ell}=1{,}7890,\;x_{u}=5.
  • f(x_{\ell})\approx-0{,}05201,\; f(x_{u})\approx21{,}30103.
Calcule x_{r}:
x_{r}\approx1{,}7969.
Avaliação:
  • 1{,}7969^{2}\approx3{,}22884961.
  • \log_{10}(1{,}7969)\approx0{,}25450.
  • f(1{,}7969)\approx3{,}22884961-0{,}25450-3\approx-0{,}02565 (negativo).
Atualiza x_{\ell}\leftarrow1{,}7969.
Novo intervalo: [1{,}7969,\;5{,}0000].

Passo 10

Iteração 8:
  • x_{\ell}=1{,}7969,\;x_{u}=5.
  • f(x_{\ell})\approx-0{,}02565,\; f(x_{u})\approx21{,}30103.
Calcule x_{r}:
x_{r}\approx1{,}8005.
Avaliação:
  • 1{,}8005^{2}\approx3{,}24180025.
  • \log_{10}(1{,}8005)\approx0{,}25539.
  • f(1{,}8005)\approx3{,}24180025-0{,}25539-3\approx-0{,}01359 (negativo).
Atualiza x_{\ell}\leftarrow1{,}8005.
Novo intervalo: [1{,}8005,\;5{,}0000].

Passo 11

Iteração 9:
  • x_{\ell}=1{,}8005,\;x_{u}=5.
  • f(x_{\ell})\approx-0{,}01359,\; f(x_{u})\approx21{,}30103.
Calcule x_{r}:
x_{r}\approx1{,}8028.
Avaliação:
  • 1{,}8028^{2}\approx3{,}25008784.
  • \log_{10}(1{,}8028)\approx0{,}25593.
  • f(1{,}8028)\approx3{,}25008784-0{,}25593-3\approx-0{,}00584 (negativo).
Atualiza x_{\ell}\leftarrow1{,}8028.
Novo intervalo: [1{,}8028,\;5{,}0000].

Passo 12

Iteração 10:
  • x_{\ell}=1{,}8028,\;x_{u}=5.
  • f(x_{\ell})\approx-0{,}00584,\; f(x_{u})\approx21{,}30103.
Calcule x_{r}:
x_{r}\approx1{,}8038.
Avaliação:
  • 1{,}8038^{2}\approx3{,}25369444.
  • \log_{10}(1{,}8038)\approx0{,}25616.
  • f(1{,}8038)\approx3{,}25369444-0{,}25616-3\approx-0{,}00247 (negativo).
Atualiza x_{\ell}\leftarrow1{,}8038.
Novo intervalo: [1{,}8038,\;5{,}0000].

Passo 13

Iteração 11:
  • x_{\ell}=1{,}8038,\;x_{u}=5.
  • f(x_{\ell})\approx-0{,}00247,\; f(x_{u})\approx21{,}30103.
Calcule x_{r}:
x_{r}\approx1{,}8045.
Avaliação aproximada:
  • 1{,}8045^{2}\approx3{,}25622025.
  • \log_{10}(1{,}8045)\approx0{,}25633.
  • f(1{,}8045)\approx3{,}25622025-0{,}25633-3\approx-0{,}00011 (ligeiramente negativo).
Agora compare a diferença entre as últimas duas aproximações de x_r:
  • aproximação anterior x_{r}^{(10)}\approx1{,}8038,
  • aproximação atual x_{r}^{(11)}\approx1{,}8045,
  • diferença |1{,}8045-1{,}8038|=0{,}0007<0{,}001.
Portanto o critério de parada (diferença entre sucessivas < 0{,}001) foi atingido. A aproximação final da raiz, com precisão 0{,}001, é x\approx1{,}8045, que arredondada a três casas decimais fica 1{,}805.

Resposta

x\approx1{,}805

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