Gere valores no intervalo [1, 5] e encontre uma raiz, utilizando o método da Posição Falsa, para a função:
; com precisão 0.001 . Obs.: Utilize pelo menos 4 casas decimais nos cálculos.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e os dados que temos.
- A função dada (interpretei a notação) é
. - O intervalo onde vamos procurar raiz é
. - Pede-se encontrar uma raiz usando o método da Posição Falsa (regula falsi) com precisão
. - Observação importante: vou usar pelo menos 4 casas decimais nos cálculos intermediários, como você pediu.
- Critério de parada que adoto: paro quando a diferença entre duas aproximações sucessivas de raiz
(ou seja
). Também monitoro o sinal de .
Informações iniciais geradas no intervalo (avaliei os extremos):
-
. -
. Usando (4 casas decimais: ), obtém-se .
Como
é negativo e
é positivo, existe pelo menos uma raiz em
por mudança de sinal. Agora aplicamos a Posição Falsa.)
Passo 2
Explico o método da Posição Falsa (regula falsi) de forma prática e a fórmula que vamos usar.
- Suponha um intervalo
com . - A Posição Falsa aproxima a raiz pela interseção da reta que liga
a com o eixo . A fórmula é
- Depois avalia-se
. Se substitui-se ; caso contrário ( ) substitui-se . Repetir até atingir o critério de parada. - Nota: todas as operações numéricas nas iterações eu apresento com pelo menos 4 casas decimais.
Agora fazemos as iterações.
Passo 3
Iteração 1 (inicial):
-
. -
. -
.
Calcule
pela fórmula:
Avaliação de
em
:
-
. -
(4 casas: ). -
(negativo).
Como
e
têm o mesmo sinal (ambos negativos), atualizamos
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
Passo 4
Iteração 2:
-
. -
.
Calcule
:
Avaliação:
-
. -
. -
(negativo).
Mantém-se sinal negativo; atualiza-se
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
Passo 5
Iteração 3:
-
. -
.
Calcule
:
Avaliação:
-
. -
. -
(negativo).
Atualiza
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
Passo 6
Iteração 4:
-
. -
.
Calcule
:
Avaliação:
-
. -
. -
(negativo).
Atualiza
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
Passo 7
Iteração 5:
-
. -
.
Calcule
:
Avaliação:
-
. -
. -
(negativo).
Atualiza
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
Passo 8
Iteração 6:
-
. -
.
Calcule
:
Avaliação:
-
. -
. -
(negativo).
Atualiza
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
Passo 9
Iteração 7:
-
. -
.
Calcule
:
Avaliação:
-
. -
. -
(negativo).
Atualiza
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
Passo 10
Iteração 8:
-
. -
.
Calcule
:
Avaliação:
-
. -
. -
(negativo).
Atualiza
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
Passo 11
Iteração 9:
-
. -
.
Calcule
:
Avaliação:
-
. -
. -
(negativo).
Atualiza
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
Passo 12
Iteração 10:
-
. -
.
Calcule
:
Avaliação:
-
. -
. -
(negativo).
Atualiza
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
Passo 13
Iteração 11:
-
. -
.
Calcule
:
Avaliação aproximada:
-
. -
. -
(ligeiramente negativo).
Agora compare a diferença entre as últimas duas aproximações de
:
- aproximação anterior
, - aproximação atual
, - diferença
.
Portanto o critério de parada (diferença entre sucessivas <
) foi atingido. A aproximação final da raiz, com precisão
, é
, que arredondada a três casas decimais fica
.