No contexto de resistência dos materiais, a função f(x)=10,0 x 4-5,1 x 3+9,14 x 2-5,78 x-5,62 é utilizada num estudo do comportamento dos mesmos, onde f(x) determina o comprimento da fissura e x>0 é a fração do número de ciclos de propagação.
É desejado saber para que valores de x a velocidade de propagação é nula, ou seja, quando o comprimento da fissura não aumenta. Sabendo que o valor de x pertence ao intervalo [0.82,0.96], utilize o método da Secante para estimá-lo, usando como critério de parada um erro relativo de €=10-3.
Utilize pelo menos 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=10,0\,x^{4}-5,1\,x^{3}+9,14\,x^{2}-5,78\,x-5,62,
o intervalo de interesse [0,82,\,0,96] e o critério de parada por erro relativo \varepsilon=10^{-3}.
A pergunta é: determinar para quais valores de x a velocidade de propagação é nula — isto é, encontrar um x em [0,82,\,0,96] tal que a função que descreve a taxa (aqui interpretada como f(x)) seja zero. Em outras palavras, buscamos uma raiz da equação
f(x)=0
no intervalo dado. Os dados relevantes extraídos do enunciado são:
  • A função polinomial f(x) conforme escrito acima.
  • O intervalo de busca [0,82,\,0,96].
  • O critério de parada: erro relativo \varepsilon=10^{-3}.
  • O método pedido: método da Secante (usa duas aproximações iniciais).

Passo 2

Breve explicação didática do método da Secante (sem jargões complicados).
  • A Secante é um método numérico para achar raízes de f(x)=0 que usa duas aproximações iniciais \,x_{n-1} e \,x_n e aproxima a curva por uma reta entre os pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)). O ponto onde essa reta corta o eixo x dá a nova aproximação x_{n+1}.
  • A fórmula iterativa é
x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)\,\bigl(x_n-x_{n-1}\bigr)}{\,f(x_n)-f(x_{n-1})\,}.
  • Critério de parada: usar erro relativo entre iterações sucessivas. Para estimativa x_{n+1} e x_n o erro relativo aproximado é
\text{erro relativo}=\dfrac{|x_{n+1}-x_n|}{|x_{n+1}|}.
Parar quando esse erro relativo for menor ou igual a \varepsilon=10^{-3}.
  • Vamos escolher como aproximações iniciais as extremidades do intervalo pedido: x_0=0,82 e x_1=0,96. A partir delas aplicamos a fórmula da Secante até que o erro relativo caia abaixo de 10^{-3}. Em cada iteração eu mostro as contas de cada termo para você poder repetir na prova.

Passo 3

Avaliar f nas aproximações iniciais (contas passo a passo).
Para x_0=0,82:
\begin{aligned} x_0^2&=0,82^2=0,6724,\\\ x_0^3&=0,82^3=0,551368,\\\ x_0^4&=0,82^4=0,452131,\\[4pt] 10,0x_0^4&=10,0\cdot0,452131=4,521310,\\\\ -5,1x_0^3&=-5,1\cdot0,551368=-2,8119768,\\\\ 9,14x_0^2&=9,14\cdot0,6724=6,145736,\\\\ -5,78x_0&=-5,78\cdot0,82=-4,7396,\\\ \text{constante}&=-5,62. \end{aligned}
Somando:
f(0,82)=4,521310-2,8119768+6,145736-4,7396-5,62\approx-2,5045308.
Para x_1=0,96:
\begin{aligned} x_1^2&=0,9216,\\\ x_1^3&=0,884736,\\\ x_1^4&=0,84934656,\\[4pt] 10,0x_1^4&=8,4934656,\\\\ -5,1x_1^3&=-4,5121536,\\\\ 9,14x_1^2&=8,423424,\\\\ -5,78x_1&=-5,5488,\\\ \text{constante}&=-5,62. \end{aligned}
Somando:
f(0,96)=8,4934656-4,5121536+8,423424-5,5488-5,62\approx1,235936.
Observação útil: f(0,82)<0 e f(0,96)>0 — há troca de sinal, logo existe pelo menos uma raiz nesse intervalo (teorema do valor intermediário para polinômios).]

Passo 4

Primeira iteração da Secante (usando x_0=0,82 e x_1=0,96). Aplicando a fórmula:
x_2 = x_1 - \dfrac{f(x_1)\,(x_1-x_0)}{\,f(x_1)-f(x_0)\,}.
Substituindo os números:
\begin{aligned} x_2 &= 0,96 - \dfrac{1,235936\cdot(0,96-0,82)}{1,235936-(-2,5045308)}\\[4pt] &=0,96 - \dfrac{1,235936\cdot0,14}{3,7404668}\\[4pt] &\approx 0,96 - 0,04627604\\\ &\approx 0,91372396. \end{aligned}
Agora avaliamos f(x_2). Calculemos os termos (aproximações com detalhe):
\begin{aligned} x_2&=0,91372396,\\\ x_2^2&\approx0,83489155,\\\ x_2^3&\approx0,76286030,\\\ x_2^4&\approx0,69704377, \end{aligned}
e então
\begin{aligned} 10,0x_2^4&\approx6,9704377,\\\\ -5,1x_2^3&\approx-3,8905875,\\\\ 9,14x_2^2&\approx7,6309088,\\\\ -5,78x_2&\approx-5,2813247,\\\ \text{constante}&=-5,62. \end{aligned}
Somando:
f(0,91372396)\approx-0,19056584.
Portanto f(x_2) ainda negativo, indica que a raiz está entre x_2 e x_1.]

Passo 5

Segunda iteração (usar agora x_1=0,96 e x_2=0,91372396 — sempre use as duas últimas aproximações):
x_3 = x_2 - \dfrac{f(x_2)\,(x_2-x_1)}{\,f(x_2)-f(x_1)\,}.
Substituindo:
\begin{aligned} x_3 &= 0,91372396 - \dfrac{(-0,19056584)\cdot(0,91372396-0,96)}{-0,19056584-1,235936}\\[4pt] &\approx 0,91372396 - \dfrac{0,00881864}{-1,42650184}\\[4pt] &\approx 0,91372396 + 0,00618100\\\ &\approx 0,91990496. \end{aligned}
Avaliação de f(x_3). Calculando potências e termos (valores arredondados com cuidado):
\begin{aligned} x_3&=0,91990496,\\\ x_3^2&\approx0,84622591,\\\ x_3^3&\approx0,77844741,\\\ x_3^4&\approx0,71609764, \end{aligned}
então
\begin{aligned} 10,0x_3^4&\approx7,1609764,\\\\ -5,1x_3^3&\approx-3,9700818,\\\\ 9,14x_3^2&\approx7,7345049,\\\\ -5,78x_3&\approx-5,3170507,\\\ \text{constante}&=-5,62. \end{aligned}
Somando:
f(0,91990496)\approx-0,01165124.
Agora calculamos o erro relativo entre x_3 e x_2 apenas como referência:
\text{erro relativo}_{(3)}=\dfrac{|x_3-x_2|}{|x_3|}=\dfrac{0,006181}{0,91990496}\approx0,00672,
que é maior que \varepsilon=10^{-3}, então continuamos.]

Passo 6

Terceira iteração (usar x_2=0,91372396 e x_3=0,91990496):
x_4 = x_3 - \dfrac{f(x_3)\,(x_3-x_2)}{\,f(x_3)-f(x_2)\,}.
Substituindo:
\begin{aligned} x_4 &= 0,91990496 - \dfrac{(-0,011651236)\cdot(0,91990496-0,91372396)}{-0,011651236-(-0,190565843)}\\[4pt] &\approx 0,91990496 - \dfrac{-0,00007201629}{0,178914607}\\[4pt] &\approx 0,91990496 + 0,000402424\\\ &\approx 0,920307384. \end{aligned}
Calculemos o erro relativo entre x_4 e x_3:
\text{erro relativo}_{(4)}=\dfrac{|x_4-x_3|}{|x_4|}=\dfrac{0,000402424}{0,920307384}\approx0,0004376.
Esse valor é menor que \varepsilon=10^{-3}, portanto o critério de parada foi satisfeito e podemos aceitar a aproximação obtida.]

Passo 7

Comentários finais e interpretação curta (estilo de prova):
  • A Secante convergiu rapidamente neste caso: após três iterações obteve-se uma aproximação que atende ao erro relativo pedido.
  • A raiz encontrada é a fração x (no intervalo dado) em que a função (interpretada aqui como a taxa/velocidade) se anula, ou seja, onde a propagação se torna nula.
  • Se precisar, pode-se efetuar mais iterações para aumentar precisão; com o critério dado, a aproximação com quatro casas decimais significativas já é confiável.

Resposta

x\approx0,9203074

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