No contexto de resistência dos materiais, a função
é utilizada num estudo do comportamento dos mesmos, onde
determina o comprimento da fissura e
é a fração do número de ciclos de propagação.
É desejado saber para que valores de x a velocidade de propagação é nula, ou seja, quando o comprimento da fissura não aumenta. Sabendo que o valor de x pertence ao intervalo [0.82,0.96], utilize o método da Secante para estimá-lo, usando como critério de parada um erro relativo de
.
Utilize pelo menos 4 casas decimais.
É desejado saber para que valores de x a velocidade de propagação é nula, ou seja, quando o comprimento da fissura não aumenta. Sabendo que o valor de x pertence ao intervalo [0.82,0.96], utilize o método da Secante para estimá-lo, usando como critério de parada um erro relativo de
Utilize pelo menos 4 casas decimais.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
o intervalo de interesse
e o critério de parada por erro relativo
.
A pergunta é: determinar para quais valores de a velocidade de propagação é nula — isto é, encontrar um
em
tal que a função que descreve a taxa (aqui interpretada como
) seja zero. Em outras palavras, buscamos uma raiz da equação
A pergunta é: determinar para quais valores de
no intervalo dado. Os dados relevantes extraídos do enunciado são:
- A função polinomial
conforme escrito acima. - O intervalo de busca
. - O critério de parada: erro relativo
. - O método pedido: método da Secante (usa duas aproximações iniciais).
Passo 2
Breve explicação didática do método da Secante (sem jargões complicados).
- A Secante é um método numérico para achar raízes de
que usa duas aproximações iniciais e e aproxima a curva por uma reta entre os pontos e . O ponto onde essa reta corta o eixo dá a nova aproximação . - A fórmula iterativa é
- Critério de parada: usar erro relativo entre iterações sucessivas. Para estimativa
e o erro relativo aproximado é
Parar quando esse erro relativo for menor ou igual a
.
- Vamos escolher como aproximações iniciais as extremidades do intervalo pedido:
e . A partir delas aplicamos a fórmula da Secante até que o erro relativo caia abaixo de . Em cada iteração eu mostro as contas de cada termo para você poder repetir na prova.
Passo 3
Avaliar
nas aproximações iniciais (contas passo a passo).
Para
:
Somando:
Para
:
Somando:
Observação útil:
e
— há troca de sinal, logo existe pelo menos uma raiz nesse intervalo (teorema do valor intermediário para polinômios).]
Passo 4
Primeira iteração da Secante (usando
e
). Aplicando a fórmula:
Substituindo os números:
Agora avaliamos
. Calculemos os termos (aproximações com detalhe):
e então
Somando:
Portanto
ainda negativo, indica que a raiz está entre
e
.]
Passo 5
Segunda iteração (usar agora
e
— sempre use as duas últimas aproximações):
Substituindo:
Avaliação de
. Calculando potências e termos (valores arredondados com cuidado):
então
Somando:
Agora calculamos o erro relativo entre
e
apenas como referência:
que é maior que
, então continuamos.]
Passo 6
Terceira iteração (usar
e
):
Substituindo:
Calculemos o erro relativo entre
e
:
Esse valor é menor que
, portanto o critério de parada foi satisfeito e podemos aceitar a aproximação obtida.]
Passo 7
Comentários finais e interpretação curta (estilo de prova):
- A Secante convergiu rapidamente neste caso: após três iterações obteve-se uma aproximação que atende ao erro relativo pedido.
- A raiz encontrada é a fração
(no intervalo dado) em que a função (interpretada aqui como a taxa/velocidade) se anula, ou seja, onde a propagação se torna nula. - Se precisar, pode-se efetuar mais iterações para aumentar precisão; com o critério dado, a aproximação com quatro casas decimais significativas já é confiável.