Gere valores entre
, encontre um intervalo onde exista uma raiz e a encontre utilizando o método da Posição Falsa, para a função:
; com precisão 0.01. Obs.: Utilize pelo menos 3 casas decimais nos cálculos.
Passo 1
O enunciado pede: gerar valores em
, encontrar um intervalo onde exista raiz da função dada e, usando o método da Posição Falsa (regula falsi), determinar a raiz com precisão
.
A expressão fornecida estava com a notação confusa: escrevi-a de forma interpretada como a função
A expressão fornecida estava com a notação confusa: escrevi-a de forma interpretada como a função
ou seja, interpretei “s q r t(x)” como
e “2^{*} .^{\wedge} 2” como
. Vou continuar a resolução usando essa função.
Informações dadas/assumidas:
Informações dadas/assumidas:
- Intervalo de busca:
. - Função:
. - Precisão desejada:
(vou usar como critério que a diferença entre aproximações sucessivas do método seja menor que ). - Pedem cálculos com pelo menos 3 casas decimais nas contas intermediárias.
Passo 2
Verificar sinais nos extremos e procurar um subintervalo com mudança de sinal (isso garante existência de raiz por Bolzano). Calcular
em alguns pontos (com pelo menos 3 casas decimais nas contas):
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
. Além disso, para referência rápida:
, então a mudança de sinal em
também ocorre (entre 0 e 5), mas o intervalo menor
já é suficiente e mais prático.
Passo 3
Apresentar o método da Posição Falsa (regula falsi) e o critério de parada:
- Fórmula da aproximação (raiz estimada) em cada iteração:
Aqui
e
são os extremos do intervalo atual com
e
de sinais opostos;
é a interseção da secante com o eixo
.
- Regra de atualização: calcular
. Se então a raiz está em (troca-se ), senão se então a raiz está em (troca-se ). - Critério de parada escolhido: parar quando
. Vou apresentar os valores com pelo menos 3 casas decimais em cada iteração.
Passo 4
Iteração 1: início com
,
.
Aplicando a fórmula:
Avaliar
em
:
Sinal de
é negativo, mesmo sinal que
, então atualizamos
. Novo intervalo:
.
Passo 5
Iteração 2:
,
.
Calcular
:
Avaliar:
Ainda negativo, então atualizar
. Novo intervalo:
.
Passo 6
Iteração 3:
,
.
Calcular
:
Avaliar:
Ainda negativo, atualizar
. Novo intervalo:
.
Passo 7
Iteração 4:
,
.
Calcular
:
Avaliar:
Verificar critério de parada: diferença entre últimas duas aproximações
Portanto podemos parar: alcançamos a precisão exigida
.
Passo 8
Interpretação final das iterações: todas as avaliações e atualizações foram feitas com pelo menos 3 casas decimais. A Posição Falsa convergiu para cerca de
(após arredondar a três casas decimais). Como a precisão pedida é
, a raiz aproximada com duas casas decimais é
.
Resposta
Intervalo com mudança de sinal:
Raiz aproximada (precisão ):
Raiz aproximada (precisão