Gere valores entre [0,5], encontre um intervalo onde exista uma raiz e a encontre utilizando o método da Posição Falsa, para a função: y=s q r t(x)+2^{*} .^{\wedge} 2-4; com precisão 0.01. Obs.: Utilize pelo menos 3 casas decimais nos cálculos.

Passo 1

O enunciado pede: gerar valores em [0,5], encontrar um intervalo onde exista raiz da função dada e, usando o método da Posição Falsa (regula falsi), determinar a raiz com precisão 0,01.
A expressão fornecida estava com a notação confusa: escrevi-a de forma interpretada como a função
f(x)=\sqrt{x}+2x^{2}-4,
ou seja, interpretei “s q r t(x)” como \sqrt{x} e “2^{*} .^{\wedge} 2” como 2x^{2}. Vou continuar a resolução usando essa função.
Informações dadas/assumidas:
  • Intervalo de busca: [0,5].
  • Função: f(x)=\sqrt{x}+2x^{2}-4.
  • Precisão desejada: 0,01 (vou usar como critério que a diferença entre aproximações sucessivas do método seja menor que 0,01).
  • Pedem cálculos com pelo menos 3 casas decimais nas contas intermediárias.

Passo 2

Verificar sinais nos extremos e procurar um subintervalo com mudança de sinal (isso garante existência de raiz por Bolzano). Calcular f em alguns pontos (com pelo menos 3 casas decimais nas contas):
f(0)=\sqrt{0}+2\cdot0^{2}-4=-4{,}000.
f(1)=\sqrt{1}+2\cdot1^{2}-4=1+2-4=-1{,}000.
f(2)=\sqrt{2}+2\cdot2^{2}-4=\sqrt{2}+8-4=4+\sqrt{2}\approx4+1{,}414=5{,}414.
Como f(1)=-1{,}000<0 e f(2)\approx5{,}414>0, existe pelo menos uma raiz em [1,2]. Além disso, para referência rápida: f(5)=\sqrt{5}+2\cdot25-4\approx46{,}236>0, então a mudança de sinal em [0,5] também ocorre (entre 0 e 5), mas o intervalo menor [1,2] já é suficiente e mais prático.

Passo 3

Apresentar o método da Posição Falsa (regula falsi) e o critério de parada:
  • Fórmula da aproximação (raiz estimada) em cada iteração:
x_{r}=b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
Aqui a e b são os extremos do intervalo atual com f(a) e f(b) de sinais opostos; x_{r} é a interseção da secante com o eixo x.
  • Regra de atualização: calcular f(x_{r}). Se f(a)\cdot f(x_{r})<0 então a raiz está em [a,x_{r}] (troca-se b\leftarrow x_{r}), senão se f(x_{r})\cdot f(b)<0 então a raiz está em [x_{r},b] (troca-se a\leftarrow x_{r}).
  • Critério de parada escolhido: parar quando |x_{r}^{(k)}-x_{r}^{(k-1)}|<0{,}01. Vou apresentar os valores com pelo menos 3 casas decimais em cada iteração.

Passo 4

Iteração 1: início com a=1{,}000, b=2{,}000.
f(a)=f(1{,}000)=-1{,}000,\qquad f(b)=f(2{,}000)\approx5{,}414.
Aplicando a fórmula:
x_{r}^{(1)}=2{,}000 - 5{,}414\cdot\frac{2{,}000-1{,}000}{5{,}414-(-1{,}000)} =2{,}000 - \frac{5{,}414\cdot1{,}000}{6{,}414} \approx2{,}000-0{,}844508=1{,}155492.
Avaliar f em x_{r}^{(1)}:
f(1{,}155492)=\sqrt{1{,}155492}+2(1{,}155492)^{2}-4\approx1{,}075892+2{,}668272-4=-0{,}255836\\ (\approx-0{,}256).
Sinal de f(x_{r}^{(1)}) é negativo, mesmo sinal que f(a), então atualizamos a\leftarrow x_{r}^{(1)}. Novo intervalo: [1{,}155492,\;2{,}000].

Passo 5

Iteração 2: a=1{,}155492, b=2{,}000.
f(a)\approx-0{,}255836,\qquad f(b)\approx5{,}414214.
Calcular x_{r}^{(2)}:
x_{r}^{(2)}=2{,}000 - 5{,}414214\cdot\frac{2{,}000-1{,}155492}{5{,}414214-(-0{,}255836)} \approx2{,}000-0{,}806628=1{,}193372.
Avaliar:
f(1{,}193372)\approx\sqrt{1{,}193372}+2(1{,}193372)^{2}-4\approx1{,}092425+2{,}848295-4=-0{,}059283\\ (\approx-0{,}059).
Ainda negativo, então atualizar a\leftarrow 1{,}193372. Novo intervalo: [1{,}193372,\;2{,}000].

Passo 6

Iteração 3: a=1{,}193372, b=2{,}000.
f(a)\approx-0{,}059283,\qquad f(b)\approx5{,}414214.
Calcular x_{r}^{(3)}:
x_{r}^{(3)}=2{,}000 - 5{,}414214\cdot\frac{2{,}000-1{,}193372}{5{,}414214-(-0{,}059283)} \approx2{,}000-0{,}798712=1{,}201288.
Avaliar:
f(1{,}201288)\approx\sqrt{1{,}201288}+2(1{,}201288)^{2}-4\approx1{,}096040+2{,}886184-4=-0{,}017776\\ (\approx-0{,}0178).
Ainda negativo, atualizar a\leftarrow1{,}201288. Novo intervalo: [1{,}201288,\;2{,}000].

Passo 7

Iteração 4: a=1{,}201288, b=2{,}000.
f(a)\approx-0{,}017776,\qquad f(b)\approx5{,}414214.
Calcular x_{r}^{(4)}:
x_{r}^{(4)}=2{,}000 - 5{,}414214\cdot\frac{2{,}000-1{,}201288}{5{,}414214-(-0{,}017776)} \approx2{,}000-0{,}796674=1{,}203326.
Avaliar:
f(1{,}203326)\approx\sqrt{1{,}203326}+2(1{,}203326)^{2}-4\approx1{,}097877+2{,}896000-4=-0{,}006123\\ (\approx-0{,}0061).
Verificar critério de parada: diferença entre últimas duas aproximações
|x_{r}^{(4)}-x_{r}^{(3)}|=|1{,}203326-1{,}201288|=0{,}002038<0{,}01.
Portanto podemos parar: alcançamos a precisão exigida 0{,}01.

Passo 8

Interpretação final das iterações: todas as avaliações e atualizações foram feitas com pelo menos 3 casas decimais. A Posição Falsa convergiu para cerca de x\approx1{,}203 (após arredondar a três casas decimais). Como a precisão pedida é 0{,}01, a raiz aproximada com duas casas decimais é x\approx1{,}20.

Resposta

Intervalo com mudança de sinal: [1,2]
Raiz aproximada (precisão 0{,}01): x\approx1{,}20

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