O gerente de um clube calculou que a probabilidade de receber 1000 visitantes ou mais em qualquer domingo de julho depende da temperatura máxima desse dia e varia de acordo com a seguinte tabela:
Temperatura \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) Probabilidade de 1000 ou mais visitantes Probabilidade de temperatura
<20 0,25 0,20
20-25 0,50 0,25
25-30 0,75 0,30
>35 0,75 0,25
Num certo domingo o clube recebe mais de 1000 visitantes. Qual a probabilidade de que a temperatura ficou entre 25-30^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de que a temperatura ficou entre 25\!-\!30^\circ\mathrm{C} dado que o clube recebeu mais de 1000 visitantes nesse domingo.
Informações fornecidas (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Para temperatura <20^\circ\mathrm{C}: \Pr(\text{1000+ visitantes} \mid <20)=0,25 e \Pr(<20)=0,20.
  • Para temperatura 20\!-\!25^\circ\mathrm{C}: \Pr(\text{1000+ visitantes} \mid 20\!-\!25)=0,50 e \Pr(20\!-\!25)=0,25.
  • Para temperatura 25\!-\!30^\circ\mathrm{C}: \Pr(\text{1000+ visitantes} \mid 25\!-\!30)=0,75 e \Pr(25\!-\!30)=0,30.
  • Para temperatura >35^\circ\mathrm{C}: \Pr(\text{1000+ visitantes} \mid >35)=0,75 e \Pr(>35)=0,25.

Passo 2

Definir eventos e a fórmula que vamos usar.
  • Seja A o evento “receber 1000 ou mais visitantes”.
  • Seja B o evento “temperatura entre 25\!-\!30^\circ\mathrm{C}”.
    O que queremos é \Pr(B\mid A). Para isso usamos o Teorema de Bayes:
\Pr(B\mid A)=\frac{\Pr(A\mid B)\,\Pr(B)}{\Pr(A)}.
Explicando a fórmula: \Pr(A\mid B) é a probabilidade de A ocorrer quando já sabemos que B ocorreu; \Pr(B) é a probabilidade a priori de B; \Pr(A) é a probabilidade total de A acontecer (sem condicionamento). Para calcular \Pr(A) usamos a lei da probabilidade total:
\Pr(A)=\sum_{i}\Pr(A\mid T_i)\Pr(T_i),
onde os T_i são as categorias de temperatura listadas (as quatro linhas da tabela).

Passo 3

Calcular os termos \Pr(A\mid T_i)\Pr(T_i) para cada categoria (estou usando os números que listei no Passo 1):
\Pr(A\mid <20)\Pr(<20)=0,25\cdot0,20=0,05.
\Pr(A\mid 20\!-\!25)\Pr(20\!-\!25)=0,50\cdot0,25=0,125.
\Pr(A\mid 25\!-\!30)\Pr(25\!-\!30)=0,75\cdot0,30=0,225.
\Pr(A\mid >35)\Pr(>35)=0,75\cdot0,25=0,1875.

Passo 4

Somar esses termos para obter \Pr(A) (lei da probabilidade total). É mais elegante usar frações exatas: 0,05=\dfrac{1}{20}, 0,125=\dfrac{1}{8}, 0,225=\dfrac{9}{40}, 0,1875=\dfrac{3}{16}. Somando:
\Pr(A)=\frac{1}{20}+\frac{1}{8}+\frac{9}{40}+\frac{3}{16}=\frac{4+10+18+15}{80}=\frac{47}{80}=0,5875.

Passo 5

Calcular o numerador da fórmula de Bayes, que é \Pr(A\mid B)\Pr(B). Usando os valores:
\Pr(A\mid B)\Pr(B)=0,75\cdot0,30=\frac{9}{40}.
Agora aplicar Bayes:
\Pr(B\mid A)=\frac{\dfrac{9}{40}}{\dfrac{47}{80}}=\frac{9}{40}\cdot\frac{80}{47}=\frac{18}{47}.
Como número decimal aproximado:
\frac{18}{47}\approx0,383.

Passo 6

Interpretação rápida: dado que o clube teve mais de 1000 visitantes, a chance de que a temperatura estivesse entre 25\!-\!30^\circ\mathrm{C} é \dfrac{18}{47}, isto é, cerca de 38{,}3\%. Força aí — é um resultado razoável: temperaturas moderadamente altas têm boa probabilidade condicional de atraírem muitos visitantes, mas também há contribuição de dias muito quentes.

Resposta

\dfrac{18}{47}\approx0,383

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