O gerente de um clube calculou que a probabilidade de receber 1000 visitantes ou mais em qualquer domingo de julho depende da temperatura máxima desse dia e varia de acordo com a seguinte tabela:
Temperatura
Probabilidade de 1000 ou mais visitantes
Probabilidade de temperatura
0,25
0,20
0,50
0,25
0,75
0,30
0,75
0,25
Num certo domingo o clube recebe mais de 1000 visitantes. Qual a probabilidade de que a temperatura ficou entre
?
| Temperatura
|
Probabilidade de 1000 ou mais visitantes | Probabilidade de temperatura |
|
|
0,25 | 0,20 |
|
|
0,50 | 0,25 |
|
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0,75 | 0,30 |
|
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0,75 | 0,25 |
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de que a temperatura ficou entre
dado que o clube recebeu mais de
visitantes nesse domingo.
Informações fornecidas (peguei estes números da tabela do enunciado):
Informações fornecidas (peguei estes números da tabela do enunciado):
- Para temperatura
: e . - Para temperatura
: e . - Para temperatura
: e . - Para temperatura
: e .
Passo 2
Definir eventos e a fórmula que vamos usar.
- Seja
o evento “receber 1000 ou mais visitantes”. - Seja
o evento “temperatura entre ”.
O que queremos é. Para isso usamos o Teorema de Bayes:
Explicando a fórmula:
é a probabilidade de
ocorrer quando já sabemos que
ocorreu;
é a probabilidade a priori de
;
é a probabilidade total de
acontecer (sem condicionamento). Para calcular
usamos a lei da probabilidade total:
onde os
são as categorias de temperatura listadas (as quatro linhas da tabela).
Passo 3
Calcular os termos
para cada categoria (estou usando os números que listei no Passo 1):
Passo 4
Somar esses termos para obter
(lei da probabilidade total). É mais elegante usar frações exatas:
,
,
,
. Somando:
Passo 5
Calcular o numerador da fórmula de Bayes, que é
. Usando os valores:
Agora aplicar Bayes:
Como número decimal aproximado:
Passo 6
Interpretação rápida: dado que o clube teve mais de
visitantes, a chance de que a temperatura estivesse entre
é
, isto é, cerca de
. Força aí — é um resultado razoável: temperaturas moderadamente altas têm boa probabilidade condicional de atraírem muitos visitantes, mas também há contribuição de dias muito quentes.