Dada a função densidade de probabilidade f_{X}(x)=0,25 para 0<x<a, qual é a probabilidade de x>a / 2 dado que x>a / 4 ?

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade
f_X(x)=0{,}25\quad\text{para }0<x<a
e pede a probabilidade condicional " x>a/2 dado que x>a/4".
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A densidade é constante e igual a 0{,}25 no intervalo aberto (0,a).
  • Não foram dados valores numéricos para a; o enunciado usa a simbólico.
  • A pergunta é calcular P\bigl(X>a/2 \mid X>a/4\bigr).

Passo 2

Regra de probabilidade condicional (explicada devagarinho). Para dois eventos A e B com P(B)>0,
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui definimos:
A=\{X>a/2\},\qquad B=\{X>a/4\}.
Para variáveis contínuas, probabilidades são áreas sob a densidade. Portanto, para calcular P(A), P(B) ou P(A\cap B) usamos integrais da densidade f_X(x) sobre os intervalos correspondentes. Como f_X é constante, a integral vira simplesmente altura vezes comprimento do intervalo — isto é, a área de um retângulo.

Passo 3

Calcular P(B)=P\bigl(X>a/4\bigr). Isso é a integral da densidade de x=a/4 até x=a:
P(B)=\int_{a/4}^{a} 0{,}25\,dx=0{,}25\bigl(a-\tfrac{a}{4}\bigr).
Agora fazemos a conta passo a passo:
a-\tfrac{a}{4}=\tfrac{4a-a}{4}=\tfrac{3a}{4},
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P(B)=0{,}25\cdot \tfrac{3a}{4}=\tfrac{3a}{16}.
Observação didática: interpretar P(B) como "altura 0{,}25 vezes base \tfrac{3a}{4}".

Passo 4

Calcular P(A\cap B). Note que A\cap B é simplesmente \{X>a/2\} porque se X>a/2 então automaticamente X>a/4. Assim
P(A\cap B)=P\bigl(X>a/2\bigr)=\int_{a/2}^{a} 0{,}25\,dx=0{,}25\bigl(a-\tfrac{a}{2}\bigr).
Fazendo as contas:
a-\tfrac{a}{2}=\tfrac{a}{2},
então
P(A\cap B)=0{,}25\cdot \tfrac{a}{2}=\tfrac{a}{8}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula condicional e simplificamos com calma:
P\bigl(X>a/2 \mid X>a/4\bigr)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\tfrac{a}{8}}{\tfrac{3a}{16}}.
Cancelar o a e multiplicar:
\frac{\tfrac{a}{8}}{\tfrac{3a}{16}}=\frac{a}{8}\cdot\frac{16}{3a}=\frac{16}{8}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Intuição geométrica (útil na prova): como a densidade é uniforme, a probabilidade condicionada reduz-se à razão dos comprimentos dos intervalos (a/2,a) e (a/4,a), isto é \dfrac{a-a/2}{a-a/4}=\dfrac{1/2}{3/4}=\dfrac{2}{3}. Se preferir ver com números, pela normalização 0{,}25\cdot a=1 tem-se a=4; então P(X>2\mid X>1)=\dfrac{2}{3}, mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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