Dada a função densidade de probabilidade
para
, qual é a probabilidade de
dado que
?
Passo 1
O enunciado dá a densidade de probabilidade
e pede a probabilidade condicional "
dado que
".
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A densidade é constante e igual a
no intervalo aberto . - Não foram dados valores numéricos para
; o enunciado usa simbólico. - A pergunta é calcular
.
Passo 2
Regra de probabilidade condicional (explicada devagarinho). Para dois eventos
e
com
,
Aqui definimos:
Para variáveis contínuas, probabilidades são áreas sob a densidade. Portanto, para calcular
,
ou
usamos integrais da densidade
sobre os intervalos correspondentes. Como
é constante, a integral vira simplesmente altura vezes comprimento do intervalo — isto é, a área de um retângulo.
Passo 3
Calcular
. Isso é a integral da densidade de
até
:
Agora fazemos a conta passo a passo:
logo
Observação didática: interpretar
como "altura
vezes base
".
Passo 4
Calcular
. Note que
é simplesmente
porque se
então automaticamente
. Assim
Fazendo as contas:
então
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula condicional e simplificamos com calma:
Cancelar o
e multiplicar:
Intuição geométrica (útil na prova): como a densidade é uniforme, a probabilidade condicionada reduz-se à razão dos comprimentos dos intervalos
e
, isto é
. Se preferir ver com números, pela normalização
tem-se
; então
, mesmo resultado.