Jogando-se três dados simultaneamente sabe-se que não resultam pontos coincidentes em nenhum deles. Qual a probabilidade de que a soma dos pontos seja igual a sete?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Três dados são lançados simultaneamente.
- A condição: não resultam pontos coincidentes em nenhum deles (ou seja, os três resultados são todos diferentes).
- Pergunta: Qual a probabilidade de que a soma dos pontos mostrados nos três dados seja igual a sete?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Cada dado tem faces numeradas de
a . - Estamos interessados na probabilidade condicionada ao evento “os três resultados são todos distintos”.
Passo 2
Definir o espaço amostral compatível com a condição “todos diferentes” e contá-lo.
Explicação didática: quando lançamos três dados e nos importamos com qual resultado aparece em cada dado (os dados são distinguíveis: primeiro, segundo e terceiro), um resultado é um triplo ordenado
com
. A condição “todos diferentes” significa
,
e
.
Contagem do número de maneiras de obter três números distintos (considerando a ordem):
- Para o primeiro dado há
escolhas. - Para o segundo dado, para não repetir o primeiro, restam
escolhas. - Para o terceiro dado, para não repetir os dois anteriores, restam
escolhas.
Portanto o tamanho do espaço amostral condicionado é
Observação: essa contagem corresponde a permutações de
elementos escolhidos dentre
, ou seja
.
Passo 3
Contar os resultados favoráveis: triplos ordenados distintos cuja soma é
.
Estratégia didática: primeiro listar as combinações de três números inteiros positivos entre
e
que somam
, sem considerar ordem; depois eliminar as que têm números repetidos; por fim contar as permutações ordenadas válidas.
Possíveis decomposições de
em três inteiros positivos entre
e
:
Verificação de repetição:
-
tem repetições (dois ), então não atende à condição “todos diferentes”. -
tem todos os elementos distintos — atende. -
tem repetições — não atende. -
tem repetições — não atende.
Conclusão: a única combinação (como conjunto) que atende à soma
e à condição “todos distintos” é
.
Passo 4
Contar as permutações ordenadas favoráveis.
Explicação didática: a combinação
pode aparecer em qualquer ordem nos três dados; como todos os três números são distintos, o número de ordenações possíveis é
.
Portanto o número de resultados favoráveis (ordenados) é
Passo 5
Calcular a probabilidade pedida e simplificar.
A probabilidade pedida, condicionada ao evento “todos diferentes”, é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis sob a condição:
Simplificando a fração:
Interpretação rápida: isso corresponde a
. Dica para prova: sempre verifique se o enunciado restringe o espaço amostral (aqui “sem pontos coincidentes”); aí conte primeiro o espaço reduzido e depois os favoráveis. Outra pegadinha comum é confundir ordem (dados distinguíveis) com combinação; neste problema os dados são distinguíveis, então devemos contar ordenações.