Jogando-se três dados simultaneamente sabe-se que não resultam pontos coincidentes em nenhum deles. Qual a probabilidade de que a soma dos pontos seja igual a sete?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Três dados são lançados simultaneamente.
  • A condição: não resultam pontos coincidentes em nenhum deles (ou seja, os três resultados são todos diferentes).
  • Pergunta: Qual a probabilidade de que a soma dos pontos mostrados nos três dados seja igual a sete?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada dado tem faces numeradas de 1 a 6.
  • Estamos interessados na probabilidade condicionada ao evento “os três resultados são todos distintos”.

Passo 2

Definir o espaço amostral compatível com a condição “todos diferentes” e contá-lo.
Explicação didática: quando lançamos três dados e nos importamos com qual resultado aparece em cada dado (os dados são distinguíveis: primeiro, segundo e terceiro), um resultado é um triplo ordenado (x_1,x_2,x_3) com x_i\in\{1,2,3,4,5,6\}. A condição “todos diferentes” significa x_1\neq x_2, x_1\neq x_3 e x_2\neq x_3.
Contagem do número de maneiras de obter três números distintos (considerando a ordem):
  • Para o primeiro dado há 6 escolhas.
  • Para o segundo dado, para não repetir o primeiro, restam 5 escolhas.
  • Para o terceiro dado, para não repetir os dois anteriores, restam 4 escolhas.
Portanto o tamanho do espaço amostral condicionado é
N = 6\cdot 5\cdot 4 = 120.
Observação: essa contagem corresponde a permutações de 3 elementos escolhidos dentre 6, ou seja \dfrac{6!}{(6-3)!}=120.

Passo 3

Contar os resultados favoráveis: triplos ordenados distintos cuja soma é 7.
Estratégia didática: primeiro listar as combinações de três números inteiros positivos entre 1 e 6 que somam 7, sem considerar ordem; depois eliminar as que têm números repetidos; por fim contar as permutações ordenadas válidas.
Possíveis decomposições de 7 em três inteiros positivos entre 1 e 6:
  • (1,1,5)
  • (1,2,4)
  • (1,3,3)
  • (2,2,3)
Verificação de repetição:
  • (1,1,5) tem repetições (dois 1), então não atende à condição “todos diferentes”.
  • (1,2,4) tem todos os elementos distintos — atende.
  • (1,3,3) tem repetições — não atende.
  • (2,2,3) tem repetições — não atende.
Conclusão: a única combinação (como conjunto) que atende à soma 7 e à condição “todos distintos” é \{1,2,4\}.

Passo 4

Contar as permutações ordenadas favoráveis.
Explicação didática: a combinação \{1,2,4\} pode aparecer em qualquer ordem nos três dados; como todos os três números são distintos, o número de ordenações possíveis é 3!.
Portanto o número de resultados favoráveis (ordenados) é
F = 3! = 6.

Passo 5

Calcular a probabilidade pedida e simplificar.
A probabilidade pedida, condicionada ao evento “todos diferentes”, é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis sob a condição:
P=\frac{F}{N}=\frac{6}{120}.
Simplificando a fração:
\frac{6}{120}=\frac{1}{20}.
Interpretação rápida: isso corresponde a 5\%. Dica para prova: sempre verifique se o enunciado restringe o espaço amostral (aqui “sem pontos coincidentes”); aí conte primeiro o espaço reduzido e depois os favoráveis. Outra pegadinha comum é confundir ordem (dados distinguíveis) com combinação; neste problema os dados são distinguíveis, então devemos contar ordenações.

Resposta

\dfrac{1}{20}

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