Um ginasta salta verticalmente de uma cama elástica atingindo uma altura h realizando um mortal (rotação de 360 graus) durante o movimento de subida e descida. A que altura este atleta deveria saltar para passar o dobro do tempo no ar e com isto fazer um mortal duplo com segurança?

Passo 1

O ginasta salta verticalmente e atinge altura h, fazendo um mortal durante o tempo em que está no ar. O conteúdo aqui é o lançamento vertical: precisamos relacionar a altura máxima h com o tempo total de voo T, usando conservação de energia (para achar a velocidade inicial) e as equações do movimento uniformemente acelerado (com aceleração -g).

Passo 2

Primeiro, relacionamos a altura máxima h com a velocidade inicial v_0. Pela conservação de energia ou pela fórmula do movimento:
v_0^2 = 2\,g\,h.
O tempo de subida até parar (altura máxima) é
t_{\text{subida}} = \frac{v_0}{g} = \frac{\sqrt{2\,g\,h}}{g} = \sqrt{\frac{2\,h}{g}}.
Como o tempo de descida é igual ao de subida, o tempo total de voo vale
T = 2\,t_{\text{subida}} = 2\,\sqrt{\frac{2\,h}{g}}.

Passo 3

Para dobrar o número de rotações mantendo a mesma velocidade angular do mortal simples, precisamos dobrar o tempo de voo:
T_{\text{novo}} = 2\,T = 2\;\Bigl(2\,\sqrt{\tfrac{2\,h}{g}}\Bigr) = 4\,\sqrt{\frac{2\,h}{g}}.
Por outro lado, se ele saltar até uma nova altura h_{\text{novo}}, teremos
T_{\text{novo}} = 2\,\sqrt{\frac{2\,h_{\text{novo}}}{g}}.
Basta igualar as duas expressões de T_{\text{novo}}.

Passo 4

Igualando
2\,\sqrt{\frac{2\,h_{\text{novo}}}{g}} = 4\,\sqrt{\frac{2\,h}{g}}
dividimos ambos os lados por 2 e obtemos
\sqrt{\frac{2\,h_{\text{novo}}}{g}} = 2\,\sqrt{\frac{2\,h}{g}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2\,h_{\text{novo}}}{g} = 4\;\frac{2\,h}{g} \quad\Longrightarrow\quad h_{\text{novo}} = 4\,h.

Resposta

O atleta deve saltar até uma altura 4\,h.

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