A posição angular de uma partícula que se move ao longo de uma circunferência de raio r é dada pela expressão \theta(t)=A t^{2}. Calcule as acelerações centrípeta e tangencial.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição angular de uma partícula que se move numa circunferência de raio r pela lei
\theta(t)=A\,t^{2}
e pede as acelerações centrípeta e tangencial.
O conteúdo necessário é cinemática angular: primeiro calculamos a velocidade angular \omega(t) e a aceleração angular \alpha(t), depois usamos as relações de conversão para acelerações lineares em movimento circular:
a_{t}=r\,\alpha, \quad a_{c}=r\,\omega^{2}.

Passo 2

Calculamos a velocidade angular \omega(t) como derivada de \theta(t):
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(A\,t^{2}\bigr) =2A\,t.

Passo 3

Calculamos a aceleração angular \alpha(t) como derivada de \omega(t):
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(2A\,t\bigr) =2A.

Passo 4

Usamos a relação da aceleração tangencial:
a_{t}=r\,\alpha =r\,(2A) =2A\,r.

Passo 5

Usamos a relação da aceleração centrípeta:
a_{c}=r\,\omega^{2} =r\,(2A\,t)^{2} =4A^{2}\,t^{2}\,r.

Resposta

A aceleração tangencial é
a_{t}=2A\,r
e a aceleração centrípeta é
a_{c}=4A^{2}\,t^{2}\,r.

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