Um jogador de golfe deseja acertar um dos buracos com uma única tacada. O buraco escolhido está a uma distância horizontal R e a uma altura h acima da posição inicial da bolinha. Suponha que o jogador consiga lançar a bolinha com uma velocidade v_{0} :
a) Encontre o ângulo de lançamento apropriado;
b) Qual é o valor mínimo de v_{0} para que o movimento seja possível?

Passo 1

O enunciado descreve um lançamento de projétil a partir da origem, de velocidade inicial \;v_{0}\; e ângulo \theta com a horizontal, visando acertar um ponto (R,h). O conteúdo é a cinemática do movimento sob gravidade g. Vamos usar as equações paramétricas do projétil para achar primeiro \theta em função de v_{0},R,h e depois exigir que exista solução real para obter o v_{0,\min}.

Passo 2

As equações paramétricas do movimento são
x(t) = v_{0}\cos\theta\;t,\qquad y(t) = v_{0}\sin\theta\;t \;-\;\tfrac12\,g\,t^{2}.
Para que o projétil alcance x=R usamos t = \tfrac{R}{v_{0}\cos\theta}. Substituindo em y(t) e exigindo y(R)=h

Passo 3

h \;=\; R\,\tan\theta \;-\;\frac{g\,R^{2}}{2\,v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.
Usando \cos^{2}\theta = 1/(1+\tan^{2}\theta) e definindo T=\tan\theta, essa equação vira uma quadrática em T:
\frac{g\,R^{2}}{2\,v_{0}^{2}}\,T^{2}\;-\;R\,T\;+\;\Bigl(h + \frac{g\,R^{2}}{2\,v_{0}^{2}}\Bigr)\;=\;0.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara para a=\tfrac{gR^{2}}{2v_{0}^{2}}, b=-R, c=h+\tfrac{gR^{2}}{2v_{0}^{2}}, obtemos
T \;=\;\tan\theta \;=\; \frac{R \pm \sqrt{\,R^{2} \;-\;4\,\frac{gR^{2}}{2v_{0}^{2}}\Bigl(h+\frac{gR^{2}}{2v_{0}^{2}}\Bigr)\,}} {2\,\frac{gR^{2}}{2v_{0}^{2}}} \;=\; \frac{v_{0}^{2}\pm \sqrt{\,v_{0}^{4} \;-\;g\bigl(gR^{2}+2h\,v_{0}^{2}\bigr)\,}}{g\,R}.
Logo, as soluções para o ângulo são
\theta \;=\;\arctan\!\Biggl(\frac{v_{0}^{2}\pm \sqrt{\,v_{0}^{4} - g\bigl(gR^{2}+2h\,v_{0}^{2}\bigr)\,}}{g\,R}\Biggr),
onde o sinal + dá a trajetória “mais alta” e o a “mais rasa”.

Passo 5

Para que \theta seja real é preciso que o discriminante seja não negativo:
v_{0}^{4} \;-\;g\bigl(gR^{2}+2h\,v_{0}^{2}\bigr)\;\ge0.
Chamando X=v_{0}^{2}, isso equivale a
X^{2}-2gh\,X - g^{2}R^{2}\ge0,
cuja raiz positiva é
X \;=\; gh + g\sqrt{R^{2}+h^{2}}.
Assim o valor mínimo de v_{0} ocorre quando o discriminante é zero, ou seja
v_{0,\min}^{2} \;=\; g\Bigl(h+\sqrt{R^{2}+h^{2}}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad v_{0,\min} \;=\;\sqrt{\,g\bigl(h+\sqrt{R^{2}+h^{2}}\bigr)\,}.

Resposta

a) As duas soluções para o ângulo de lançamento são
\theta = \arctan\!\Biggl(\frac{v_{0}^{2}\pm \sqrt{\,v_{0}^{4} - g\bigl(gR^{2}+2h\,v_{0}^{2}\bigr)\,}}{g\,R}\Biggr).
b) O valor mínimo de v_{0} para que haja solução real é
v_{0,\min} = \sqrt{\,g\bigl(h+\sqrt{R^{2}+h^{2}}\bigr)\,}.

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