Given points P(1,-3,5), Q(2,4,6), and R(0,3,8), find: (a) the position vectors of P and R, (b) the distance vector \mathrm{r}_{Q R}, (c) the distance between Q and $R.

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos no espaço com coordenadas cartesianas:
  • P(1,-3,5)
  • Q(2,4,6)
  • R(0,3,8)
O que é pedido:
(a) os vetores posição de P e de R (ou seja, os vetores que vão da origem até esses pontos);
(b) o vetor distância \mathrm{r}_{Q R} (o vetor que vai de Q até R);
(c) a distância entre Q e R (um número real, comprimento do vetor de Q a R).

Passo 2

O que é um vetor posição?
Para um ponto qualquer A(x,y,z), o vetor posição \vec{r}_A é o vetor que vai da origem O(0,0,0) até A. Em coordenadas cartesianas esse vetor tem componentes iguais às coordenadas do ponto:
\vec{r}_A=\langle x,y,z\rangle.
Aplicando isso aos pontos dados, calculamos os vetores posição de P e de R.

Passo 3

Cálculo dos vetores posição:
\vec{r}_P=\langle 1,-3,5\rangle, \qquad \vec{r}_R=\langle 0,3,8\rangle.
Explicação: cada componente do vetor posição é simplesmente a coordenada correspondente do ponto (primeira componente x, segunda y, terceira z).

Passo 4

O que é o vetor distância \mathrm{r}_{Q R}?
O vetor que vai de Q até R é dado pela diferença entre o vetor posição de R e o vetor posição de Q:
\mathrm{r}_{Q R}=\vec{r}_R-\vec{r}_Q.
Subtração de vetores em coordenadas é feita componente a componente:
\text{se }\vec{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle\text{ e }\vec{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle,\text{ então }\vec{a}-\vec{b}=\langle a_1-b_1,\;a_2-b_2,\;a_3-b_3\rangle.ã

Passo 5

Cálculo explícito de \mathrm{r}_{Q R}. Primeiro escrevemos \vec{r}_Q:
\vec{r}_Q=\langle 2,4,6\rangle.
Agora:
\mathrm{r}_{Q R}=\vec{r}_R-\vec{r}_Q=\langle 0-2,\;3-4,\;8-6\rangle=\langle -2,\;-1,\;2\rangle.

Passo 6

Agora a distância entre Q e R. A distância é o comprimento (módulo) do vetor \mathrm{r}_{Q R}. Para um vetor \vec{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle, o módulo é
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}}.
Aplicando a \mathrm{r}_{Q R}=\langle -2,-1,2\rangle:
\|\mathrm{r}_{Q R}\|=\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
Interpretação: a distância entre Q e R é 3 unidades.

Resposta

\vec{r}_P=\langle 1,-3,5\rangle
\vec{r}_R=\langle 0,3,8\rangle
\mathrm{r}_{Q R}=\langle -2,-1,2\rangle
\; \; \; \; \; \; \; \; \|\mathrm{r}_{Q R}\|=3

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