Points P and Q are located at (0,2,4) and (-3,1,5). Calculate
(a) The position vector P
(b) The distance vector from P to Q
(c) The distance between P and Q
(d) A vector parallel to P Q with magntude of 10

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no espaço tridimensional:
  • P=(0,2,4).
  • Q=(-3,1,5).
O que pede:
(a) a posição do vetor de P (vetor posição de P, isto é, o vetor do origem até P);
(b) o vetor distância de P para Q (vetor \vec{PQ});
(c) a distância entre P e Q (o comprimento do vetor \vec{PQ});
(d) um vetor paralelo a \vec{PQ} com magnitude 10.

Passo 2

Entendendo o que é vetor posição: o vetor posição de um ponto A=(x,y,z) é o vetor que vai da origem O=(0,0,0) até A. Em componentes ele é simplesmente os próprios coordenados do ponto organizadas em vetor. Se o ponto é P=(0,2,4), o vetor posição de P é
\vec{r}_P=\langle 0,2,4\rangle.
Isto representa o deslocamento desde a origem até P: 0 na direção x, 2 na direção y e 4 na direção z.

Passo 3

Como calcular o vetor de P para Q: para obter o vetor que vai de P até Q (denotado por \vec{PQ}) subtrai-se coordenada a coordenada:
\vec{PQ}=\vec{r}_Q-\vec{r}_P,
onde \vec{r}_Q=\langle -3,1,5\rangle e \vec{r}_P=\langle 0,2,4\rangle. Fazendo a subtração componente a componente:
\vec{PQ}=\langle -3-0,\;1-2,\;5-4\rangle=\langle -3,-1,1\rangle.
Interpretação: esse vetor aponta da posição de P na direção de Q; o sinal negativo em x e em y indica que para ir de P a Q temos que nos deslocar na direção negativa desses eixos.

Passo 4

Distância entre dois pontos como norma do vetor diferença: a distância entre P e Q é o comprimento (norma euclidiana) do vetor \vec{PQ}. A definição de norma em \mathbb{R}^3 para um vetor \langle a,b,c\rangle é
\|\langle a,b,c\rangle\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Aplicando a \vec{PQ}=\langle -3,-1,1\rangle:
\|\vec{PQ}\|=\sqrt{(-3)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}.
Se quiser uma aproximação decimal (útil às vezes): \sqrt{11}\approx 3,3166 (mas a forma exata \sqrt{11} é preferível).

Passo 5

Construir um vetor paralelo a \vec{PQ} com magnitude 10: o caminho padrão é obter primeiro o vetor unitário na direção de \vec{PQ} e depois multiplicá-lo pelo comprimento desejado. Vetor unitário na direção de \vec{PQ} é
\hat{u}=\frac{\vec{PQ}}{\|\vec{PQ}\|}=\frac{1}{\sqrt{11}}\langle -3,-1,1\rangle.
Multiplicando por 10 para obter magnitude 10:
\vec{v}=10\hat{u}=\frac{10}{\sqrt{11}}\langle -3,-1,1\rangle.
Verificação rápida (fácil de fazer na prova): como \hat{u} tem norma 1, então \|\vec{v}\|=10\|\hat{u}\|=10.
Observação: outra forma equivalente, racionalizando o denominador, é
\vec{v}=\left\langle -\frac{30\sqrt{11}}{11},\;-\frac{10\sqrt{11}}{11},\;\frac{10\sqrt{11}}{11}\right\rangle,
mas a forma \dfrac{10}{\sqrt{11}}\langle -3,-1,1\rangle é mais direta e limpa.

Passo 6

Recapitulando rapidamente (cheque final): vetor posição, subtração componente a componente para obter \vec{PQ}, norma euclidiana para a distância, e escalamento do vetor unitário para obter magnitude desejada. Está tudo consistente: \vec{PQ}=\langle -3,-1,1\rangle tem norma \sqrt{11}, e multiplicando a direção unitária por 10 obtém-se um vetor paralelo com magnitude 10.

Resposta

(a) \vec{r}_P=\langle 0,2,4\rangle
(b) \vec{PQ}=\langle -3,-1,1\rangle
(c) \|\vec{PQ}\|=\sqrt{11}
(d) \displaystyle \vec{v}=\frac{10}{\sqrt{11}}\langle -3,-1,1\rangle

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