Points
and
are located at
and
. Calculate
(a) The position vector
(b) The distance vector from
to
(c) The distance between
and
(d) A vector parallel to
with magntude of 10
(a) The position vector
(b) The distance vector from
(c) The distance between
(d) A vector parallel to
Passo 1
O enunciado dá dois pontos no espaço tridimensional:
-
. -
.
O que pede:
(a) a posição do vetor de (vetor posição de
, isto é, o vetor do origem até
);
(b) o vetor distância de para
(vetor
);
(c) a distância entre e
(o comprimento do vetor
);
(d) um vetor paralelo a com magnitude
.
(a) a posição do vetor de
(b) o vetor distância de
(c) a distância entre
(d) um vetor paralelo a
Passo 2
Entendendo o que é vetor posição: o vetor posição de um ponto
é o vetor que vai da origem
até
. Em componentes ele é simplesmente os próprios coordenados do ponto organizadas em vetor. Se o ponto é
, o vetor posição de
é
Isto representa o deslocamento desde a origem até
:
na direção
,
na direção
e
na direção
.
Passo 3
Como calcular o vetor de
para
: para obter o vetor que vai de
até
(denotado por
) subtrai-se coordenada a coordenada:
onde
e
. Fazendo a subtração componente a componente:
Interpretação: esse vetor aponta da posição de
na direção de
; o sinal negativo em
e em
indica que para ir de
a
temos que nos deslocar na direção negativa desses eixos.
Passo 4
Distância entre dois pontos como norma do vetor diferença: a distância entre
e
é o comprimento (norma euclidiana) do vetor
. A definição de norma em
para um vetor
é
Aplicando a
:
Se quiser uma aproximação decimal (útil às vezes):
(mas a forma exata
é preferível).
Passo 5
Construir um vetor paralelo a
com magnitude
: o caminho padrão é obter primeiro o vetor unitário na direção de
e depois multiplicá-lo pelo comprimento desejado. Vetor unitário na direção de
é
Multiplicando por
para obter magnitude
:
Verificação rápida (fácil de fazer na prova): como
tem norma
, então
.
Observação: outra forma equivalente, racionalizando o denominador, é
mas a forma
é mais direta e limpa.
Passo 6
Recapitulando rapidamente (cheque final): vetor posição, subtração componente a componente para obter
, norma euclidiana para a distância, e escalamento do vetor unitário para obter magnitude desejada. Está tudo consistente:
tem norma
, e multiplicando a direção unitária por
obtém-se um vetor paralelo com magnitude
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)