Given vectors \mathbf{A}=\mathbf{a}_{x}+3 \mathbf{a}_{z} and \mathbf{B}=5 \mathbf{a}_{x}+2 \mathbf{a}_{y}-6 \mathbf{a}_{z}, determine
(d) A unit vector parallel to 3 \mathrm{~A}+\mathrm{B}

Passo 1

O enunciado pede: determinar um vetor unitário paralelo a 3\mathbf{A}+\mathbf{B}.
Informações fornecidas:
  • \mathbf{A}=\mathbf{a}_{x}+3\mathbf{a}_{z}.
  • \mathbf{B}=5\mathbf{a}_{x}+2\mathbf{a}_{y}-6\mathbf{a}_{z}.

Passo 2

Primeiro, vou escrever as componentes dos vetores em forma cartesiana (no sistema de base \{\mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z\}):
\mathbf{A}=(1,\,0,\,3),\qquad \mathbf{B}=(5,\,2,\,-6).
Aqui cada tupla (x,y,z) corresponde às componentes nas direções \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z, respectivamente.

Passo 3

Calculo 3\mathbf{A} multiplicando cada componente de \mathbf{A} por 3:
3\mathbf{A}=3\cdot(1,\,0,\,3)=(3,\,0,\,9).
Explicação rápida: multiplicar um vetor por escalar significa multiplicar cada componente por esse escalar.

Passo 4

Agora somo 3\mathbf{A} com \mathbf{B} componente a componente para obter o vetor paralelo desejado:
3\mathbf{A}+\mathbf{B}=(3,\,0,\,9)+(5,\,2,\,-6)=(3+5,\,0+2,\,9-6)=(8,\,2,\,3).
Em notação de base:
3\mathbf{A}+\mathbf{B}=8\mathbf{a}_x+2\mathbf{a}_y+3\mathbf{a}_z.

Passo 5

Para obter um vetor unitário paralelo a esse vetor, preciso dividir pelo seu módulo. Primeiro calculo o módulo (norma) do vetor (8,2,3). A norma de um vetor (x,y,z) é dada por \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Assim:
\lVert 3\mathbf{A}+\mathbf{B}\rVert=\sqrt{8^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{64+4+9}=\sqrt{77}.
Breve explicação: a fórmula vem do teorema de Pitágoras generalizado em 3D.

Passo 6

O vetor unitário paralelo a 3\mathbf{A}+\mathbf{B} é o vetor resultante dividido pelo seu módulo. Portanto:
\hat{\mathbf{u}}=\frac{3\mathbf{A}+\mathbf{B}}{\lVert 3\mathbf{A}+\mathbf{B}\rVert }=\frac{1}{\sqrt{77}}\,(8\mathbf{a}_x+2\mathbf{a}_y+3\mathbf{a}_z).
Isso significa que as componentes do vetor unitário são \dfrac{8}{\sqrt{77}},\dfrac{2}{\sqrt{77}},\dfrac{3}{\sqrt{77}} nas direções \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z.

Resposta

\dfrac{8}{\sqrt{77}}\mathbf{a}_x+\dfrac{2}{\sqrt{77}}\mathbf{a}_y+\dfrac{3}{\sqrt{77}}\mathbf{a}_z

Exercícios relacionados