Modele um mecanismo de segunda ordem com sobressinal de 16,3% e tempo de assentamento (2%) de 14 segundos. A folga do mecanismo faz com que ele responda após 0,3 segundos do acionamento. 0 erro estacionário para a resposta ao degrau unitário é nulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para modelar um mecanismo de segunda ordem com algumas características específicas: sobressinal de 16,3%, tempo de assentamento de 14 segundos, uma folga de 0,3 segundos no início da resposta e zero erro estacionário para uma entrada do tipo degrau unitário. Vamos usar conceitos de controle de sistemas, especialmente sobre sistemas de segunda ordem, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o sobressinal percentagem (PO). Ele está relacionado ao fator de amortecimento (ζ). A fórmula que liga o PO ao ζ é:
PO = e^( -pi zetaraiz1-zeta^2 ) times 100%
Temos PO = 16,3%. Vamos resolver essa equação para encontrar ζ.

Passo 3

Rearranjando a fórmula para encontrar ζ:
0,163 = e^( -pi zetaraiz1-zeta^2 )
Aplicando logaritmo natural nos dois lados:
ln(0,163) = -pi zetaraiz1-zeta^2
Calculando o lado esquerdo:
ln(0,163) approx -1,812
Portanto:
-1,812 = -pi zetaraiz1-zeta^2 Rightarrow 1,812 = pi zetaraiz1-zeta^2
Resolvendo para ζ:
1,812 raiz1-zeta^2 = pi zeta
(1,812)^2 (1 - zeta^2) = (pi zeta)^2
3,28 (1 - zeta^2) = 9,87 zeta^2
3,28 = 3,28 zeta^2 + 9,87 zeta^2
3,28 = 13,15 zeta^2
zeta^2 = 3,2813,15 approx 0,249
zeta approx raiz0,249 approx 0,499
Então, o fator de amortecimento ζ é aproximadamente 0,499.

Passo 4

Agora, vamos usar o tempo de assentamento (Ts) para encontrar a frequência natural (ωn). A fórmula para o tempo de assentamento a 2% é:
Ts = 4zeta omegan
Temos Ts = 14 segundos e ζ ≈ 0,499. Substituindo:
14 = 40,499 omegan
Resolvendo para ωn:
omegan = 40,499 times 14 approx 46,986 approx 0,572 rad/s

Passo 5

Agora que temos ζ e ωn, podemos montar a função de transferência sem considerar a folga (tempo de atraso). A forma padrão para um sistema de segunda ordem com zero erro estacionário para degrau unitário é:
G(s) = omegan^2s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2
Substituindo os valores:
G(s) = 0,572^2s^2 + 2 times 0,499 times 0,572 s + 0,572^2 approx 0,327s^2 + 0,571 s + 0,327

Passo 6

Por fim, precisamos considerar a folga de 0,3 segundos. Isso introduz um tempo de atraso (dead time) na função de transferência, que pode ser representado por Gfinal(s) = e^-0,3s times 0,327s^2 + 0,571 s + 0,327 . Assim, a função de transferência final fica:

Resposta

A função de transferência do mecanismo de segunda ordem solicitado é:
G(s) = e^-0,3s times 0,327s^2 + 0,571 s + 0,327

Exercícios relacionados