Modele um mecanismo de segunda ordem com sobressinal de 16,3% e tempo de assentamento (2%) de 14 segundos. A folga do mecanismo faz com que ele responda após 0,3 segundos do acionamento. 0 erro estacionário para a resposta ao degrau unitário é nulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para modelar um mecanismo de segunda ordem com algumas características específicas: sobressinal de 16,3%, tempo de assentamento de 14 segundos, uma folga de 0,3 segundos no início da resposta e zero erro estacionário para uma entrada do tipo degrau unitário. Vamos usar conceitos de controle de sistemas, especialmente sobre sistemas de segunda ordem, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o sobressinal percentagem (PO). Ele está relacionado ao fator de amortecimento (ζ). A fórmula que liga o PO ao ζ é:
Temos PO = 16,3%. Vamos resolver essa equação para encontrar ζ.
Passo 3
Rearranjando a fórmula para encontrar ζ:
Aplicando logaritmo natural nos dois lados:
Calculando o lado esquerdo:
Portanto:
Resolvendo para ζ:
Então, o fator de amortecimento ζ é aproximadamente 0,499.
Passo 4
Agora, vamos usar o tempo de assentamento (Ts) para encontrar a frequência natural (ωn). A fórmula para o tempo de assentamento a 2% é:
Temos Ts = 14 segundos e ζ ≈ 0,499. Substituindo:
Resolvendo para ωn:
Passo 5
Agora que temos ζ e ωn, podemos montar a função de transferência sem considerar a folga (tempo de atraso). A forma padrão para um sistema de segunda ordem com zero erro estacionário para degrau unitário é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Por fim, precisamos considerar a folga de 0,3 segundos. Isso introduz um tempo de atraso (dead time) na função de transferência, que pode ser representado por
. Assim, a função de transferência final fica:
Resposta
A função de transferência do mecanismo de segunda ordem solicitado é: