A point charge
is located at the origin. Express the potential in both rectangular and cylindrical coordinates, and use the gradient operation in that coordinate system to find the electric field intensity.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma carga pontual
no zero e quer:
- Escrever o potencial
em coordenadas retangulares e cilíndricas . - Calcular o campo elétrico
usando em cada sistema.
Conteúdo envolvido: eletrostática básica (potencial de carga pontual) e operação gradiente em coordenadas retangulares e cilíndricas. A gente vai precisar lembrar das definições de, , e das fórmulas do gradiente nos dois sistemas.
Passo 2
Potencial em coordenadas retangulares
- Primeiro, o potencial de uma carga pontual em 3D no vácuo é
onde
.
- Logo, em
a gente escreve
Passo 3
Potencial em coordenadas cilíndricas
- Em coordenadas cilíndricas,
e continua o mesmo. O ângulo não aparece no potencial porque só depende da distância radial. - Então
e
Passo 4
Campo elétrico em coordenadas retangulares
- A definição é
. Em retangulares:
- Calculando, por exemplo,
Fazendo o mesmo pra
e
, obtemos
Passo 5
Campo elétrico em coordenadas cilíndricas
- Em cilíndricas, o gradiente é
Aqui
.
- Calculando
Então
Resposta
Potenciais:
Campos elétricos: