A point charge Q is located at the origin. Express the potential in both rectangular and cylindrical coordinates, and use the gradient operation in that coordinate system to find the electric field intensity.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma carga pontual no zero e quer:
  1. Escrever o potencial em coordenadas retangulares e cilíndricas .
  2. Calcular o campo elétrico usando em cada sistema.
    Conteúdo envolvido: eletrostática básica (potencial de carga pontual) e operação gradiente em coordenadas retangulares e cilíndricas. A gente vai precisar lembrar das definições de , , e das fórmulas do gradiente nos dois sistemas.

Passo 2

Potencial em coordenadas retangulares
  • Primeiro, o potencial de uma carga pontual em 3D no vácuo é
V(r)=Q4pivarepsilon0,r,
onde V(x,y,z) =Q4pivarepsilon0raizx^2+y^2+z^2, .
  • Logo, em a gente escreve

Passo 3

Potencial em coordenadas cilíndricas
  • Em coordenadas cilíndricas, V(rho,phi,z) =Q4pivarepsilon0raizrho^2+z^2, e continua o mesmo. O ângulo não aparece no potencial porque só depende da distância radial.
  • Então e

Passo 4

Campo elétrico em coordenadas retangulares
  • A definição é nabla V =hat x,partial Vpartial x +hat y,partial Vpartial y +hat z,partial Vpartial z, . Em retangulares:
partial Vpartial x =partialpartial xl(tfracQ4pivarepsilon0raizx^2+y^2+z^2r) =-Q,x4pivarepsilon0,(x^2+y^2+z^2)^3/2
  • Calculando, por exemplo,
E(x,y,z) =-nabla V =Q4pivarepsilon0,(x^2+y^2+z^2)^3/2, l(x,hat x+y,hat y+z,hat zr)
Fazendo o mesmo pra e , obtemos

Passo 5

Campo elétrico em coordenadas cilíndricas
  • Em cilíndricas, o gradiente é
nabla V =hatrho,partial Vpartial rho +hatphi,1rhopartial Vpartial phi +hat z,partial Vpartial z
Aqui partial Vpartial rho =-Q,rho4pivarepsilon0,(rho^2+z^2)^3/2, partial Vpartial z =-Q,z4pivarepsilon0,(rho^2+z^2)^3/2 .
  • Calculando
E(rho,phi,z) =-nabla V =Q4pivarepsilon0,(rho^2+z^2)^3/2 l(rho,hatrho+z,hat zr)
Então

Resposta

Potenciais:
V(x,y,z) =Q4pivarepsilon0raizx^2+y^2+z^2, V(rho,phi,z) =Q4pivarepsilon0raizrho^2+z^2
Campos elétricos:
E(x,y,z) =Q4pivarepsilon0,(x^2+y^2+z^2)^3/2 l(x,hat x+y,hat y+z,hat zr),
E(rho,phi,z) =Q4pivarepsilon0,(rho^2+z^2)^3/2 l(rho,hatrho+z,hat zr)

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