Gp(s)=Y(s)U(s)=5(s+1)(2 s+1)
O sistema é controlado por um controlador proporcional com Gc = 1,6. Considere as dinâmicas de válvula e de elemento medidor desprezíveis. Para um degrau de 0,1 no setpoint, determine:
a) O valor da variável controlada no estado estacionário. Verifique se há offset.
b) O fator de amortecimento e se a resposta é sub-amortecida. Em caso positivo, calcule o overshoot e o período de oscilação.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema com função de transferência
Gp(s)=5(s+1)(2s+1)
e um controlador proporcional em feedback unitário. A entrada é um degrau de amplitude 0,1 no setpoint.
Conteúdo: sistemas de controle em malha fechada, valor final de sistema linear, e resposta de segundo-ordem (ζ, ωₙ, overshoot, período).
O que vamos precisar:
  • Montar a função de transferência fechada.
  • Usar o teorema do valor final para encontrar o estado estacionário.
  • Identificar parâmetros padrão de um segundo-ordem ( , ζ).
  • Calcular overshoot e período da oscilação.

Passo 2

Primeiro achamos a função de transferência em malha fechada L(s)=GcGp(s)=1,6;5(s+1)(2s+1)=8(s+1)(2s+1) .
A função de laço aberto é
T(s)=L(s)1+L(s)= 8(s+1)(2s+1) 1+8(s+1)(2s+1) =8(s+1)(2s+1)+8 =82s^2+3s+9
Em realimentação unitária

Passo 3

a) Estado estacionário usando o teorema do valor final.
Para degrau de amplitude 0,1 temos
Y(s)=T(s),0.1s=82s^2+3s+9;0.1s =0.8s,(2s^2+3s+9)
O valor final é
yss=limsto0s,Y(s) =0.82cdot0^2+3cdot0+9 =0.89approx0.0889
O offset (erro permanente) é , ou seja, existe erro em regime permanente.

Passo 4

b) Identificar parâmetros de um sistema de segundo-ordem.
Escrevendo 2l(s^2+32s+92r)=0 longrightarrow s^2+2ζωn s+ωn^2, em forma padrão
ωn^2=92Rightarrow ωn=raiztfrac92approx2.1213,
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2ζωn=32Rightarrow ζ=3/22,ωn =1.52cdot2.1213approx0.3536
Como , o sistema é sub-amortecido.

Passo 5

Overshoot ( ωd=ωnraiz1-ζ^2 =2.1213raiz1-0.3536^2approx1.9844;rad/s ) e período de oscilação ( Mp=e^-ζpiraiz1-ζ^2 =e^-0.3536piraiz1-0.125 approx0.3046(30.46%) ).
A frequência amortecida é
Td=2piωd approx2pi1.9844approx3.17;s
Overshoot percentual
Período da oscilação amortecida

Resposta

a) Em regime permanente , há offset ≈0.0111.
b) ζ≈0.3536 (<1), sistema sub-amortecido; overshoot ≈30.5%, período ≈3.17 s.

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