Considere um quadrado.
a) Relacione a area do quadrado com o seu lado. Depois calcule a taxa de variaçao da área do quadrado em relação ao seu lado.
b) Se o lado do quadrado varia com o tempo a uma taxa de 1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, qual será a taxa de variação da área do quadrado em relação ao tempo quando a área valer 4 \mathrm{~cm}^{2} ?

Passo 1

O enunciado fala de um quadrado e pede duas coisas:
  • (a) relacionar a área do quadrado com o comprimento do seu lado e, a partir disso, calcular a taxa de variação da área em relação ao lado;
  • (b) supondo que o lado varie no tempo à taxa de 1\\ \mathrm{cm/s}, encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo quando a área vale 4\\ \mathrm{cm}^2.
Informações relevantes dadas e variáveis que vamos usar:
  • Seja s o comprimento do lado do quadrado (em \mathrm{cm}).
  • Seja A a área do quadrado (em \mathrm{cm}^2).
  • Para a parte (b) foi dado \dfrac{ds}{dt}=1\\ \mathrm{cm/s}.
  • Precisamos usar a relação entre A e s e, depois, as noções de derivada para obter as taxas.

Passo 2

Relacionando a área com o lado: por definição, a área de um quadrado é o produto do comprimento do lado por ele mesmo. Portanto definimos a função
A(s)=s^2.
Aqui A(s) significa "área em função do lado s". A unidade de A é \mathrm{cm}^2 quando s está em \mathrm{cm}.

Passo 3

O que significa “taxa de variação da área em relação ao seu lado”? É a derivada \dfrac{dA}{ds}: como muda A quando s muda um pouco. Intuitivamente, se aumentamos s por um pequeno \Delta s, a variação correspondente de A é aproximadamente \dfrac{dA}{ds}\Delta s.
Vamos calcular \dfrac{dA}{ds} usando a regra do potência (power rule). A regra diz que, para f(s)=s^n,
\frac{df}{ds}=n s^{\,n-1}.
Aplicando com n=2 em A(s)=s^2, obtemos
\frac{dA}{ds}=2s.
Expliquei: a derivada de s^2 em relação a s é 2s. A unidade de \dfrac{dA}{ds} é \dfrac{\mathrm{cm}^2}{\mathrm{cm}}=\mathrm{cm}.

Passo 4

Agora vamos tratar a parte (b): quando s depende do tempo t (ou seja s=s(t)), a área também depende do tempo via A(t)=\bigl(s(t)\bigr)^2. Para encontrar a taxa de variação da área no tempo usamos a regra da cadeia (chain rule). A regra da cadeia diz que, se A é função de s e s é função de t, então
\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}.
Isso tem sentido físico: a velocidade de mudança de A no tempo é quanto A muda por unidade de s vezes quanto s muda por unidade de tempo.

Passo 5

Já achamos \dfrac{dA}{ds}=2s. Foi dado que \dfrac{ds}{dt}=1\\ \mathrm{cm/s}. Para aplicar precisamos do valor de s quando a área vale 4\\ \mathrm{cm}^2. Usamos a relação da Passo 2:
A=s^2=4\\ \mathrm{cm}^2 \quad\Rightarrow\quad s=\sqrt{4}=2\\ \mathrm{cm}.
(Escolhemos a raiz positiva porque s é comprimento.)

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia:
\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}= (2s)\cdot\frac{ds}{dt}.
Substituindo s=2\\ \mathrm{cm} e \dfrac{ds}{dt}=1\\ \mathrm{cm/s},
\frac{dA}{dt}=2\cdot 2 \cdot 1 = 4\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
Interpretação: a área está aumentando a 4\\ \mathrm{cm}^2 por segundo naquele instante.

Passo 7

Resumo prático para a prova (para você decorar/lembrar): escreva primeiro A=s^2, derivate em relação a s para achar \dfrac{dA}{ds}=2s. Se s depende do tempo, use \dfrac{dA}{dt}=2s\cdot\dfrac{ds}{dt}. Plugue os valores numéricos (aqui s=2 e \dfrac{ds}{dt}=1) e pronto — fica rápido na hora da prova. Força, você consegue!

Resposta

(a) A=s^2 e \dfrac{dA}{ds}=2s.
(b) \dfrac{dA}{dt}=4\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

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