Considere um quadrado.
a) Relacione a area do quadrado com o seu lado. Depois calcule a taxa de variaçao da área do quadrado em relação ao seu lado.
b) Se o lado do quadrado varia com o tempo a uma taxa de
, qual será a taxa de variação da área do quadrado em relação ao tempo quando a área valer
?
a) Relacione a area do quadrado com o seu lado. Depois calcule a taxa de variaçao da área do quadrado em relação ao seu lado.
b) Se o lado do quadrado varia com o tempo a uma taxa de
Passo 1
O enunciado fala de um quadrado e pede duas coisas:
- (a) relacionar a área do quadrado com o comprimento do seu lado e, a partir disso, calcular a taxa de variação da área em relação ao lado;
- (b) supondo que o lado varie no tempo à taxa de
, encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo quando a área vale .
Informações relevantes dadas e variáveis que vamos usar:
- Seja
o comprimento do lado do quadrado (em ). - Seja
a área do quadrado (em ). - Para a parte (b) foi dado
. - Precisamos usar a relação entre
e e, depois, as noções de derivada para obter as taxas.
Passo 2
Relacionando a área com o lado: por definição, a área de um quadrado é o produto do comprimento do lado por ele mesmo. Portanto definimos a função
Aqui
significa "área em função do lado
". A unidade de
é
quando
está em
.
Passo 3
O que significa “taxa de variação da área em relação ao seu lado”? É a derivada
: como muda
quando
muda um pouco. Intuitivamente, se aumentamos
por um pequeno
, a variação correspondente de
é aproximadamente
.
Vamos calcular
usando a regra do potência (power rule). A regra diz que, para
,
Aplicando com
em
, obtemos
Expliquei: a derivada de
em relação a
é
. A unidade de
é
.
Passo 4
Agora vamos tratar a parte (b): quando
depende do tempo
(ou seja
), a área também depende do tempo via
. Para encontrar a taxa de variação da área no tempo usamos a regra da cadeia (chain rule). A regra da cadeia diz que, se
é função de
e
é função de
, então
Isso tem sentido físico: a velocidade de mudança de
no tempo é quanto
muda por unidade de
vezes quanto
muda por unidade de tempo.
Passo 5
Já achamos
. Foi dado que
. Para aplicar precisamos do valor de
quando a área vale
. Usamos a relação da Passo 2:
(Escolhemos a raiz positiva porque
é comprimento.)
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia:
Substituindo
e
,
Interpretação: a área está aumentando a
por segundo naquele instante.
Passo 7
Resumo prático para a prova (para você decorar/lembrar): escreva primeiro
, derivate em relação a
para achar
. Se
depende do tempo, use
. Plugue os valores numéricos (aqui
e
) e pronto — fica rápido na hora da prova. Força, você consegue!
Resposta
(a)
e
(b)
(b)