(gradiente perp curva de nível) Considere as funções f(x, y)=x^2+4 y^2-3 e r(t)=(2 cos t, sin t), t in[0,2 pi].
(b) Mostre que gamma é a curva de nível k=1 da função f(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis f(x,y)=x^2+4y^2-3 e a parametrização gamma(t)=r(t)=(2cos t,,sin t). O que queremos mostrar é que todos os pontos de gamma satisfazem f(x,y)=1, ou seja, que gamma é a curva de nível de valor k=1.

Passo 2

Substituímos a parametrização em f. Temos:
f(2cos t,sin t)=(2cos t)^2+4(sin t)^2-3=4cos^2t+4sin^2t-3

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica cos^2t+sin^2t=1, obtemos:
4(cos^2t+sin^2t)-3=4cdot1-3=1

Passo 4

Como para todo t temos f(gamma(t))=1, concluímos que gamma está contida na curva de nível f(x,y)=1.

Resposta

gamma(t)=(2cos t,sin t) é exatamente a curva de nível k=1 de f(x,y)=x^2+4y^2-3.

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