Sejam f e g funções diferenciáveis e alpha, beta in R. Mostre que
(a) nabla(alpha f+beta g)=alpha nabla f+beta nabla g
(b) nabla(f g)=f nabla g+g nabla f
© nabla f^n=n f^n-1 nabla f, para n inteiro >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar três propriedades do operador gradiente: linearidade, regra do produto e regra da potência. Vamos usar a definição de gradiente como vetor de derivadas parciais e as regras de diferenciação (linearidade, produto e cadeia) para provar cada item.

Passo 2

Para (a), note que cada componente do gradiente é dada por partiali(alpha f+beta g). Pela linearidade da derivada escalar, temos partiali(alpha f+beta g)=alpha,partiali f+beta,partiali g. Assim
nabla(alpha f+beta g)=(partiali(alpha f+beta g))i=(alpha,partiali f+beta,partiali g)i=alphanabla f+betanabla g

Passo 3

Para (b), aplicamos a regra do produto em cada componente: partiali(fg)=f,partiali g+g,partiali f. Logo
nabla(fg)=(partiali(fg))i=(f,partiali g+g,partiali f)i=fnabla g+gnabla f

Passo 4

Para ©, considere a função h(t)=t^n. Então f^n=hcirc f. Pela regra da cadeia para gradiente,
nabla(f^n)=h'(f),nabla f

Passo 5

Como h'(t)=nt^n-1, concluímos
nabla(f^n)=n f^n-1nabla f

Resposta

As identidades são: (a) nabla(alpha f+beta g)=alphanabla f+betanabla g; (b) nabla(fg)=fnabla g+gnabla f; © nabla(f^n)=n f^n-1nabla f.

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