Sejam
e
funções diferenciáveis e
. Mostre que
(a)
(b)
©
, para
inteiro
.
(a)
(b)
©
Passo 1
O enunciado pede para mostrar três propriedades do operador gradiente: linearidade, regra do produto e regra da potência. Vamos usar a definição de gradiente como vetor de derivadas parciais e as regras de diferenciação (linearidade, produto e cadeia) para provar cada item.
Passo 2
Para (a), note que cada componente do gradiente é dada por
. Pela linearidade da derivada escalar, temos
. Assim
Passo 3
Para (b), aplicamos a regra do produto em cada componente:
. Logo
Passo 4
Para ©, considere a função
. Então
. Pela regra da cadeia para gradiente,
Passo 5
Como
, concluímos
Resposta
As identidades são: (a)
; (b)
; ©
.