Gradiente de Potencial - Considere \nabla \mu \mathrm{i}=\mathrm{RT} \nabla \ln (\mathrm{Ci}). Se o gradiente de concentração é \mathbf{0 , 0 5 ~ m o l} / \mathbf{L} \cdot \mathbf{c m} a \mathbf{2 9 8 ~ K}, calcule \nabla \mu \mathrm{i} para \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \backslash \mathrm{K} (em \mathrm{J} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{cm} ).

Passo 1

O enunciado dá a relação
\nabla\mu_i = RT\,\nabla\ln(C_i)
e fornece os seguintes dados:
  • \nabla C_i = (0,\;0,05)\\ \dfrac{\mathrm{mol}}{\mathrm{L}\cdot\mathrm{cm}} (esse é o gradiente de concentração, escrito como vetor com componentes nas direções x e y);
  • T = 298\\ \mathrm{K};
  • R = 8,314\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}}.
O que a questão pede: calcular \nabla\mu_i em unidades de \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{cm}}.

Passo 2

Vamos transformar \nabla\ln(C_i) em algo que use \nabla C_i. Pela regra da cadeia (derivada do logaritmo),
\nabla\ln(C_i) = \frac{1}{C_i}\,\nabla C_i.
Explicando na prática: se f\text{(C)}=\ln C, então a derivada escalar f'\text{(C)}=1/C; o gradiente aplicado dá \nabla(\ln C)=f'\text{(C)}\nabla C. Aqui C_i é a concentração local (um escalar) e \nabla C_i é o vetor gradiente dado.
Portanto podemos escrever
\nabla\mu_i = RT\,\frac{1}{C_i}\,\nabla C_i = \frac{RT}{C_i}\,\nabla C_i.

Passo 3

Calculemos RT numericamente:
RT = 8,314\cdot 298 = 2477,572\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}}.

Passo 4

Agora substituímos \nabla C_i e RT na expressão:
\nabla\mu_i = \frac{2477,572}{C_i}\,(0,\;0,05)\\ \frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{L}\cdot\mathrm{cm}}.
Verificação de unidades: \dfrac{1}{C_i} tem unidades \dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{mol}} (pois C_i está em \mathrm{mol}/\mathrm{L}); multiplicando por \nabla C_i que é \mathrm{mol}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{cm}) temos cancelamento \dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{mol}}\cdot\dfrac{\mathrm{mol}}{\mathrm{L}\cdot\mathrm{cm}}=\dfrac{1}{\mathrm{cm}}. Multiplicando por RT em \mathrm{J}/\mathrm{mol} resulta em \mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{cm}), que é a unidade pedida.
Multiplicando o escalar 2477,572 pela componente 0,05 obtemos
2477,572\times 0,05 = 123,8786.
Logo a forma simplificada é
\nabla\mu_i = \left(0,\;\dfrac{123,8786}{C_i}\right)\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{cm}},
onde C_i deve ser inserido em \mathrm{mol}/\mathrm{L}.

Passo 5

Importante: para obter um valor numérico final é necessário conhecer o valor da concentração local C_i (em \mathrm{mol}/\mathrm{L}). O enunciado não informou C_i, portanto não é possível dar um número único sem fazer uma suposição. Abaixo dou dois exemplos práticos (apenas para ilustrar):
  • Se C_i = 1\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}, então
\nabla\mu_i = (0,\;123,8786)\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{cm}} \approx (0,\;123,9)\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{cm}}.
  • Se C_i = 0,1\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}, então
\nabla\mu_i = (0,\;1238,786)\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{cm}} \approx (0,\;1238,8)\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{cm}}.
Se quiser, posso calcular o valor exato para qualquer C_i que você informar; sem esse dado, a expressão geral acima é a resposta correta.

Resposta

\nabla\mu_i = \left(0,\;\dfrac{123,8786}{C_i}\right)\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{cm}}
Exemplos:
\;C_i=1\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}\Rightarrow \nabla\mu_i=(0,\;123,8786)\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{cm}}
\;C_i=0,1\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}\Rightarrow \nabla\mu_i=(0,\;1238,786)\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{cm}}

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