Um gráfico do logaritmo na base 10 da concentração, \log [\mathrm{A}]_{t}, versus tempo produz uma linha reta para uma reação de primeira ordem? Se produzir, qual é o coeficiente angular dessa linha?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas:
  • Se o gráfico de \log_{10}[\mathrm{A}]_{t} versus tempo produz uma linha reta para uma reação de primeira ordem.
  • Caso produza uma reta, qual é o coeficiente angular (inclinação) dessa reta?
Informações que temos (implícitas no enunciado):
  • Trata-se de uma reação de primeira ordem em \mathrm{A}, ou seja, a velocidade depende apenas da concentração de \mathrm{A}.
  • Denotaremos a constante de velocidade por k (unidade: tempo^{-1}) e a concentração em função do tempo por [\mathrm{A}]_{t}.
  • O tempo inicial será chamado de t=0 e a concentração inicial por [\mathrm{A}]_{0}.

Passo 2

Escrevendo a lei da velocidade para uma reação de primeira ordem: a variação temporal da concentração obedece à equação diferencial
-\frac{d[\mathrm{A}]}{dt}=k[\mathrm{A}].
Explicando essa equação passo a passo:
  • [\mathrm{A}] é a concentração da espécie \mathrm{A} em função do tempo.
  • \dfrac{d[\mathrm{A}]}{dt} é a derivada temporal, ou seja, a taxa de variação da concentração.
  • O sinal negativo aparece porque [\mathrm{A}] diminui com o tempo.
  • k é a constante de velocidade: maior k significa que a reação consome \mathrm{A} mais rapidamente.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Reorganizando:
\frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]}=-k\,dt.
Integramos ambos os lados entre o estado inicial ( [\mathrm{A}]_0 em t=0) e o tempo t ( [\mathrm{A}]_t):
\int_{[\mathrm{A}]_0}^{[\mathrm{A}]_t}\frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]}=\int_{0}^{t} -k\,dt.
As integrais são simples (logaritmo natural):
\ln[\mathrm{A}]_{t}-\ln[\mathrm{A}]_{0}=-kt.
Rearranjando:
\ln[\mathrm{A}]_{t}=\ln[\mathrm{A}]_{0}-kt.
Essa é a forma exponencial/logarítmica padrão que mostra que [\mathrm{A}]_{t} decai exponencialmente com taxa k.

Passo 4

Converter para logaritmo na base 10. Usamos a relação entre log natural e log base 10:
\log_{10}x=\frac{\ln x}{\ln 10},
onde \ln 10 é uma constante (aproximadamente 2{,}302585\ldots). Aplicando essa relação à identidade obtida em \ln:
\log_{10}[\mathrm{A}]_{t}=\frac{\ln[\mathrm{A}]_{t}}{\ln 10} =\frac{\ln[\mathrm{A}]_{0}-kt}{\ln 10} =\log_{10}[\mathrm{A}]_{0}-\frac{k}{\ln 10}\,t.
Portanto a expressão é da forma de uma reta em função do tempo:
\log_{10}[\mathrm{A}]_{t}=\underbrace{\log_{10}[\mathrm{A}]_{0}}_{\text{intercepto}}+\underbrace{\left(-\frac{k}{\ln 10}\right)}_{\text{inclinação}}\,t.çã

Passo 5

Interpretações úteis e como usar isso na prova:
  • Sim: o gráfico de \log_{10}[\mathrm{A}]_{t} versus t é uma linha reta para reação de primeira ordem.
  • O coeficiente angular (inclinação) é -\dfrac{k}{\ln 10}. O sinal negativo indica que \log_{10}[\mathrm{A}]_{t} decresce com o tempo.
  • A ordenada na origem é \log_{10}[\mathrm{A}]_{0}.
  • Se na prática você medir a inclinação experimental m da reta, a constante de velocidade é
k=-m\ln 10.
  • Exemplo rápido: se k=0{,}1\\ \text{s}^{-1}, a inclinação é -0{,}1/\ln 10\approx-0{,}0434\\ \text{s}^{-1}.
Força aí — essa transformação é uma saída clássica em cinética: plotar logaritmos lineares para reconhecer ordens e extrair k.

Resposta

Sim.
O coeficiente angular é -\dfrac{k}{\ln 10}.

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