Explique por que o gráfico de
versus tempo, baseado na Equação 20.15, não produz uma linha reta para uma reação de primeira ordem.
20.12. O resfriamento de um corpo quente até a temperatura ambiente segue, com muito boa aproximação, a cinética de primeira ordem. (Entretanto, neste caso, a unidade que varia é Kelvin, e não a molaridade. Isto é conhecido como lei do resfriamento, de Newton.) Se a constante de velocidade de resfriamento de um corpo é
, qual é o tempo necessário para ele ir de 1000 K para 298 K ?
20.12. O resfriamento de um corpo quente até a temperatura ambiente segue, com muito boa aproximação, a cinética de primeira ordem. (Entretanto, neste caso, a unidade que varia é Kelvin, e não a molaridade. Isto é conhecido como lei do resfriamento, de Newton.) Se a constante de velocidade de resfriamento de um corpo é
Passo 1
O enunciado faz duas coisas:
- Pede uma explicação de por que o gráfico de
versus tempo, baseado na Equação 20.15, não é uma linha reta. - Pede, usando a cinética de primeira ordem (lei do resfriamento de Newton), o tempo necessário para um corpo cair de
para , sabendo que a constante de velocidade de resfriamento é .
Informações dadas:
- Constante:
. - Temperatura inicial:
. - Temperatura do ambiente (final assintótica):
.
Passo 2
Escrever a equação diferencial da primeira ordem e resolvê‑la (a chamada Equação 20.15 é a solução integrada da lei de decaimento exponencial).
A equação diferencial para uma reação de primeira ordem em concentração é
onde:
-
é a concentração de no tempo ; -
é a constante de velocidade (aqui ).
Separando variáveis e integrando:
Integrando dos tempos
a
e das concentrações
a
,
Isso dá
Exponenciando obtemos a forma explícita
Aqui
é a concentração inicial (valor em
) e
a concentração no tempo
.
Passo 3
Usar a solução exponencial para explicar por que o gráfico
versus
não é uma linha reta.
A função encontrada é
. Essa é uma função exponencial decrescente em
. Propriedades relevantes:
- Uma função linear tem a forma
e seu gráfico é uma reta com inclinação constante . - Para
a inclinação depende de (ou seja, depende de ): a taxa de variação não é constante, muda com o tempo. Portanto o gráfico é curvo, não uma reta. - Alternativa prática: tomar logaritmo natural lineariza. Tomando
em ambos os lados:
Isso mostra que um gráfico de
versus
é uma reta de declive
, mas o gráfico direto
versus
é exponencial (curvo). Em resumo:
é exponencial em
, não linear; só o logaritmo é linear.
Passo 4
Aplicar a ideia ao resfriamento de Newton (que segue a mesma forma matemática).
Para resfriamento, a quantidade que decai exponencialmente é a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. A equação apropriada é
onde:
-
é a temperatura do corpo no tempo ; -
é a temperatura inicial; -
é a temperatura ambiente; -
é a constante de resfriamento dada.
Observe que se quisermos
exatamente, o lado esquerdo fica zero, o que exigiria
. Isso não ocorre para nenhum
finito, pois
para todo
. Portanto, matematicamente, a temperatura do corpo aproxima-se assintoticamente de
e só alcança exatamente
quando
.
Passo 5
Derivar a expressão para o tempo necessário para atingir uma temperatura alvo
(praticamente acima do ambiente) e aplicar aos números.
Isolando
na equação de resfriamento:
Agora aplicar aos valores dados. Para
e
a diferença inicial é
Se tentarmos
(ou seja atingir exatamente a temperatura do ambiente), o denominador
e a razão dentro do
diverge; portanto
. Conclusão: não existe tempo finito para atingir exatamente
.
Como observação prática, pode-se calcular o tempo para chegar a uma temperatura arbitrariamente próxima de
. Exemplos:
- Para
(diferenca final ):
Numérica aproximada:
logo
- Para
(diferença final ):
Numérica aproximada:
Resposta
Porque
satisfaz
, que é uma função exponencial de
(curva), e não uma função linear; o gráfico linear surge apenas para
versus
, que tem declive
.
Tempo para ir de a exatamente
:
(a temperatura ambiente é atingida somente assintoticamente).
Tempo aproximado para chegar a :
.
Tempo aproximado para chegar a :
.
Tempo para ir de
Tempo aproximado para chegar a
Tempo aproximado para chegar a