O gráfico da parábola de equção
é girado em torno do eixo
, gerando um sólido de revolução. Calcule o volume deste sólido.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (não peguei imagem; só o texto):
- A curva é dada por
. - O intervalo em
é . - Essa curva é girada em torno do eixo
, gerando um sólido de revolução.
O que o enunciado pede:
- Calcular o volume do sólido obtido pela rotação.
Observação importante (esclarecimento que faço por causa da ambiguidade comum): vou entender que o sólido é gerado pela rotação da região plana limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas
e
. Essa é a interpretação padrão para "gráfico … é girado em torno do eixo
" quando se pede volume.
Passo 2
Ideia e método (disco/roda): quando uma região plana entre
e
é girada em torno do eixo
, cada fatia vertical estreita em
com largura
gera um disco (ou anel, se houver furo) de espessura
. A área da seção transversal perpendicular ao eixo
é a área do círculo de raio igual à altura da região em
.
Se a função que dá a altura é
, então o raio do disco é
. A área do disco é
. Assim o volume infinitesimal da fatia é
Somando (integrando) de
até
obtemos a fórmula do volume por discos:
Aqui explico cada símbolo:
-
é o volume total buscado. -
é a constante geométrica. -
e são os limites do intervalo em (aqui , ). -
é a função cuja curva delimita a região (aqui ). -
representa a espessura infinitesimal da fatia.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: temos
,
,
. Então
Passo 4
Calcular a integral passo a passo. A primitiva (antiderivada) de
é
, porque ao diferenciar
obtemos
. Logo
Agora compute os potes:
então
Passo 5
Multiplicando pelo
que estava fora da integral, obtemos o volume final:
Como checagem rápida: numericamente
, o que é um valor razoável para o sólido gerado.