O gráfico da parábola de equção y=x^{2}, \operatorname{com} 1 \leq x \leq 2 é girado em torno do eixo x, gerando um sólido de revolução. Calcule o volume deste sólido.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (não peguei imagem; só o texto):
  • A curva é dada por y=x^{2}.
  • O intervalo em x é 1 \leq x \leq 2.
  • Essa curva é girada em torno do eixo x, gerando um sólido de revolução.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o volume do sólido obtido pela rotação.
Observação importante (esclarecimento que faço por causa da ambiguidade comum): vou entender que o sólido é gerado pela rotação da região plana limitada pela curva y=x^{2}, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=2. Essa é a interpretação padrão para "gráfico … é girado em torno do eixo x" quando se pede volume.

Passo 2

Ideia e método (disco/roda): quando uma região plana entre x=a e x=b é girada em torno do eixo x, cada fatia vertical estreita em x com largura dx gera um disco (ou anel, se houver furo) de espessura dx. A área da seção transversal perpendicular ao eixo x é a área do círculo de raio igual à altura da região em x.
Se a função que dá a altura é y=f(x), então o raio do disco é R(x)=f(x). A área do disco é \pi [R(x)]^{2}=\pi [f(x)]^{2}. Assim o volume infinitesimal da fatia é
dV=\pi [f(x)]^{2}\,dx.
Somando (integrando) de x=a até x=b obtemos a fórmula do volume por discos:
V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}\,dx.
Aqui explico cada símbolo:
  • V é o volume total buscado.
  • \pi é a constante geométrica.
  • a e b são os limites do intervalo em x (aqui a=1, b=2).
  • f(x) é a função cuja curva delimita a região (aqui f(x)=x^{2}).
  • dx representa a espessura infinitesimal da fatia.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: temos f(x)=x^{2}, a=1, b=2. Então
V=\pi\int_{1}^{2}[x^{2}]^{2}\,dx=\pi\int_{1}^{2}x^{4}\,dx.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo. A primitiva (antiderivada) de x^{4} é \dfrac{x^{5}}{5}, porque ao diferenciar \dfrac{x^{5}}{5} obtemos x^{4}. Logo
\int_{1}^{2}x^{4}\,dx=\left[\dfrac{x^{5}}{5}\right]_{1}^{2}=\dfrac{2^{5}}{5}-\dfrac{1^{5}}{5}.
Agora compute os potes:
2^{5}=32,\qquad 1^{5}=1,
então
\int_{1}^{2}x^{4}\,dx=\dfrac{32}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{31}{5}.

Passo 5

Multiplicando pelo \pi que estava fora da integral, obtemos o volume final:
V=\pi\cdot\dfrac{31}{5}=\dfrac{31\pi}{5}.
Como checagem rápida: numericamente \dfrac{31\pi}{5}\approx 6{,}2\cdot 3{,}1416\approx 19{,}48, o que é um valor razoável para o sólido gerado.

Resposta

\dfrac{31\pi}{5}

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