As secções transversais de um sólido em planos perpendiculares ao eixo x são círculos, cujos diâmetros se estendem da curva y=\frac{1}{2} \sqrt{x} até à curva y=\sqrt{x}, com 0 \leq x \leq 4. Calcule o volume deste sólido.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado dá duas curvas que delimitam os extremos do diâmetro das seções transversais circulares, em função de x:
    • curva inferior: y=\dfrac{1}{2}\sqrt{x},
    • curva superior: y=\sqrt{x}.
  • As secções transversais são planos perpendiculares ao eixo x (ou seja, fatias em x= constante são círculos).
  • O intervalo de interesse é 0 \leq x \leq 4.
  • O que se pede: calcular o volume do sólido formado.

Passo 2

Entender geometricamente a seção em x fixo: o diâmetro do círculo nessa seção é a distância vertical entre a curva superior e a curva inferior. Vamos escrever isso em fórmula (aqui peguei os dados do enunciado).
  • O diâmetro D(x) vale
D(x)=\bigl(\sqrt{x}\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{2}\sqrt{x}\bigr).
  • Simplificando,
D(x)=\left(1-\tfrac{1}{2}\right)\sqrt{x}=\tfrac{1}{2}\sqrt{x}.

Passo 3

A partir do diâmetro obtemos o raio da seção circular.
  • O raio r(x) é metade do diâmetro, portanto
r(x)=\tfrac{1}{2}D(x)=\tfrac{1}{2}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\sqrt{x}\right)=\tfrac{1}{4}\sqrt{x}.

Passo 4

Lembrar a fórmula da área de um círculo e aplicá-la à secção em x.
  • Fórmula: a área de um círculo de raio r é A=\pi r^{2}. Aqui cada seção tem raio r(x), então a área transversal depende de x:
A(x)=\pi\bigl(r(x)\bigr)^{2}.
  • Substituindo r(x)=\tfrac{1}{4}\sqrt{x},
A(x)=\pi\left(\tfrac{1}{4}\sqrt{x}\right)^{2}=\pi\cdot\tfrac{1}{16}\,x=\tfrac{\pi}{16}\,x.
Explicando devagar: ao elevar \sqrt{x} ao quadrado obtém-se x; o factor (\tfrac{1}{4})^{2} é \tfrac{1}{16}.

Passo 5

Explicar por que somar as áreas leva ao volume: princípio das fatias (método dos discos).
  • Imagine dividir o intervalo [0,4] em muitas fatias fininhas de comprimento \Delta x. Cada fatia em x tem volume aproximado A(x)\,\Delta x. Somando todas e passando ao limite, obtemos a integral definida
V=\int_{0}^{4} A(x)\,dx.
  • Aqui A(x) é a área da seção transversal que encontramos no passo anterior.

Passo 6

Montar a integral com a A(x) encontrada e fatorar constantes para facilitar a integração.
  • Substituindo A(x)=\dfrac{\pi}{16}\,x,
V=\int_{0}^{4}\dfrac{\pi}{16}\,x\,dx=\dfrac{\pi}{16}\int_{0}^{4} x\,dx.
  • Agora calculamos a integral indefinida de x: uma antiderivada é \dfrac{x^{2}}{2}. Então ao avaliar no intervalo,
\int_{0}^{4} x\,dx=\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=\dfrac{4^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}=\dfrac{16}{2}=8.

Passo 7

Combinar o resultado da integral com o fator constante que ficou fora.
  • Temos
V=\dfrac{\pi}{16}\cdot 8.
(Não vou simplificar aqui para deixar a forma final somente na seção de resposta, conforme pedido.)

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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