As secções transversais de um sólido em planos perpendiculares ao eixo
são círculos, cujos diâmetros se estendem da curva
até à curva
, com
. Calcule o volume deste sólido.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O enunciado dá duas curvas que delimitam os extremos do diâmetro das seções transversais circulares, em função de
: - curva inferior:
, - curva superior:
.
- curva inferior:
- As secções transversais são planos perpendiculares ao eixo
(ou seja, fatias em constante são círculos). - O intervalo de interesse é
. - O que se pede: calcular o volume do sólido formado.
Passo 2
Entender geometricamente a seção em
fixo: o diâmetro do círculo nessa seção é a distância vertical entre a curva superior e a curva inferior. Vamos escrever isso em fórmula (aqui peguei os dados do enunciado).
- O diâmetro
vale
- Simplificando,
Passo 3
A partir do diâmetro obtemos o raio da seção circular.
- O raio
é metade do diâmetro, portanto
Passo 4
Lembrar a fórmula da área de um círculo e aplicá-la à secção em
.
- Fórmula: a área de um círculo de raio
é . Aqui cada seção tem raio , então a área transversal depende de :
- Substituindo
,
Explicando devagar: ao elevar
ao quadrado obtém-se
; o factor
é
.
Passo 5
Explicar por que somar as áreas leva ao volume: princípio das fatias (método dos discos).
- Imagine dividir o intervalo
em muitas fatias fininhas de comprimento . Cada fatia em tem volume aproximado . Somando todas e passando ao limite, obtemos a integral definida
- Aqui
é a área da seção transversal que encontramos no passo anterior.
Passo 6
Montar a integral com a
encontrada e fatorar constantes para facilitar a integração.
- Substituindo
,
- Agora calculamos a integral indefinida de
: uma antiderivada é . Então ao avaliar no intervalo,
Passo 7
Combinar o resultado da integral com o fator constante que ficou fora.
- Temos
(Não vou simplificar aqui para deixar a forma final somente na seção de resposta, conforme pedido.)