Seja
a região do primeiro quadrante delimitada pelo gráfico da função
, com
, e pelo eixo
. Se
girar em torno do eixo
, calcule o volume do sólido de revolução assim obtido.
(Dica: Lembre-se que
(Dica: Lembre-se que
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A região
no primeiro quadrante delimitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e . Ou seja, os pontos têm e . - Essa região
gira em torno do eixo . - Pede-se o volume do sólido obtido por essa rotação.
- Dica fornecida: usar a identidade
.
Passo 2
Entendendo o método que vamos usar (disco): quando uma região limitada por
e o eixo
(com
) gira em torno do eixo
, cada fatia vertical de espessura
gera um disco de raio
e área da seção transversal
. O volume do sólido é a soma (integral) das áreas dos discos ao longo de
. Assim, a fórmula geral é
onde
e
são os limites em
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui
,
e
. Portanto
O problema reduziu-se a calcular a integral
.
Passo 4
Usamos a identidade trigonométrica dada para simplificar
. Reescrevemos a dica:
Isolando
obtemos
Essa forma é útil porque integra-se facilmente termos constantes e
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Separei a integral em duas partes para integrar termo a termo.
Passo 6
Integrando termo a termo:
- Para o primeiro termo,
. - Para o segundo termo, explica a antiderivada de
: se então , logo . Isso também pode ser visto pela regra da cadeia (a derivada de é , então é preciso multiplicar por ao integrar).
Assim, uma primitiva deé
Multiplicando pelo fator
que estava fora, uma primitiva para o integrando completo é
Passo 7
Agora avaliamos a integral definida entre
e
:
Calculemos os valores nas extremidades:
- Em
: - Em
:
Então
(Atenção: este resultado é o valor da expressão
no intervalo; lembrando que na fórmula do volume havia o fator
multiplicando a integral original — vamos combinar tudo no passo seguinte.)
Passo 8
Voltando ao volume, lembramos que tínhamos
Já avaliamos
. Portanto, substituindo esse valor no volume: