Seja A a região do primeiro quadrante delimitada pelo gráfico da função f(x)=\operatorname{sen} x, com 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, e pelo eixo x. Se A girar em torno do eixo x, calcule o volume do sólido de revolução assim obtido.
(Dica: Lembre-se que \left.\cos (2 x)=1-2 \operatorname{sen}^{2} x\right)

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A região A no primeiro quadrante delimitada pela curva y=\sin x, pelo eixo x e pelas retas x=0 e x=\dfrac{\pi}{2}. Ou seja, os pontos têm 0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2} e 0 \leq y \leq \sin x.
  • Essa região A gira em torno do eixo x.
  • Pede-se o volume do sólido obtido por essa rotação.
  • Dica fornecida: usar a identidade \cos(2x)=1-2\sin^2 x.

Passo 2

Entendendo o método que vamos usar (disco): quando uma região limitada por y=f(x) e o eixo x (com f(x)\ge0) gira em torno do eixo x, cada fatia vertical de espessura dx gera um disco de raio r=f(x) e área da seção transversal \pi r^2=\pi [f(x)]^2. O volume do sólido é a soma (integral) das áreas dos discos ao longo de x. Assim, a fórmula geral é
V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}\,dx,
onde a e b são os limites em x.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui f(x)=\sin x, a=0 e b=\dfrac{\pi}{2}. Portanto
V=\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx.
O problema reduziu-se a calcular a integral \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica dada para simplificar \sin^{2}x. Reescrevemos a dica:
\cos(2x)=1-2\sin^{2}x.
Isolando \sin^{2}x obtemos
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Essa forma é útil porque integra-se facilmente termos constantes e \cos(2x).

Passo 5

Substituindo na integral:
V=\pi\int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1-\cos(2x)\bigr)\,dx.
Separei a integral em duas partes para integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando termo a termo:
  • Para o primeiro termo, \displaystyle\int 1\,dx=x.
  • Para o segundo termo, explica a antiderivada de \cos(2x): se u=2x então du=2\,dx, logo \displaystyle\int \cos(2x)\,dx=\frac{1}{2}\sin(2x). Isso também pode ser visto pela regra da cadeia (a derivada de \sin(2x) é 2\cos(2x), então é preciso multiplicar por \tfrac{1}{2} ao integrar).
    Assim, uma primitiva de 1-\cos(2x) é
x-\frac{1}{2}\sin(2x).
Multiplicando pelo fator \dfrac{\pi}{2} que estava fora, uma primitiva para o integrando completo é
\frac{\pi}{2}\left(x-\frac{1}{2}\sin(2x)\right).

Passo 7

Agora avaliamos a integral definida entre 0 e \dfrac{\pi}{2}:
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx = \left[x-\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_{0}^{\pi/2}.
Calculemos os valores nas extremidades:
  • Em x=\dfrac{\pi}{2}: x-\dfrac{1}{2}\sin(2x)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}\sin(\pi)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot 0=\dfrac{\pi}{2}.
  • Em x=0: x-\dfrac{1}{2}\sin(2x)=0-\dfrac{1}{2}\sin(0)=0.
    Então
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\dfrac{\pi}{2}-0=\dfrac{\pi}{2}.
(Atenção: este resultado é o valor da expressão x-\tfrac{1}{2}\sin(2x) no intervalo; lembrando que na fórmula do volume havia o fator \dfrac{\pi}{2} multiplicando a integral original — vamos combinar tudo no passo seguinte.)

Passo 8

Voltando ao volume, lembramos que tínhamos
V=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1-\cos(2x)\bigr)\,dx =\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx.
Já avaliamos \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\dfrac{\pi}{4}. Portanto, substituindo esse valor no volume:
V=\pi\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi^{2}}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{4}

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