Gráficos e Aplicações
Em um mesmo sistema de eixos, esboce o gráfico de (G(\omega)=V_{out} / V_{in}) versus (\omega) para o filtro passa-baixa e para o filtro passa-alta. Use o eixo horizontal para a frequência (\omega) e o eixo vertical para a razão das amplitudes (G(\omega)). Identifique a frequência de corte (\omega_{c}) e o comportamento assintótico em seus gráficos.

Passo 1

O enunciado pede que, num mesmo sistema de eixos com o eixo horizontal representando a frequência \omega e o eixo vertical representando a razão de amplitudes
G(\omega)=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}},
nós esbocemos as curvas de um filtro passa-baixa e de um filtro passa-alta, indicando a frequência de corte \omega_{c} e os comportamentos assintóticos de cada curva.

Passo 2

Para um filtro RC simples:
– O ganho em módulo do passa-baixa é
G_{\text{LP}}(\omega) =\biggl|\frac{1}{1 + j\,\frac{\omega}{\omega_{c}}}\biggr| =\frac{1}{\sqrt{1 + \bigl(\omega/\omega_{c}\bigr)^{2}}}\,.
– O ganho em módulo do passa-alta é
G_{\text{HP}}(\omega) =\biggl|\frac{j\,\frac{\omega}{\omega_{c}}}{1 + j\,\frac{\omega}{\omega_{c}}}\biggr| =\frac{\omega/\omega_{c}}{\sqrt{1 + \bigl(\omega/\omega_{c}\bigr)^{2}}}\,.
Aqui \omega_{c}=1/RC é a frequência de corte comum aos dois filtros.

Passo 3

Identificamos \omega_{c} como a frequência na qual
G_{\text{LP}}(\omega_{c})=G_{\text{HP}}(\omega_{c}) =\frac{1}{\sqrt{2}}\approx0{,}707,
que corresponde ao ponto de –3 dB.

Passo 4

Analisamos os comportamentos assintóticos em dois regimes:
– Para \omega\ll\omega_{c}:
G_{\text{LP}}(\omega)\approx1,\quad G_{\text{HP}}(\omega)\approx\frac{\omega}{\omega_{c}}\;\bigl(\text{cresce linearmente}\bigr).
– Para \omega\gg\omega_{c}:
G_{\text{LP}}(\omega)\approx\frac{\omega_{c}}{\omega}\;\bigl(\text{decai como }1/\omega\bigr),\quad G_{\text{HP}}(\omega)\approx1.

Passo 5

Esboço conjunto das duas curvas em escala linear (ou log-log para enfatizar inclinações):
– Desenhe uma linha horizontal em G=1 para \omega\ll\omega_{c} (passa-baixa) que, a partir de \omega_{c}, passa a decair com inclinação –20 dB/década (isto é, proporcional a 1/\omega).
– Desenhe uma linha horizontal em G=1 para \omega\gg\omega_{c} (passa-alta) que, para \omega<\omega_{c}, cresce com inclinação +20 dB/década (isto é, proporcional a \omega).
– Marque verticalmente em \omega=\omega_{c} a frequência de corte onde ambas valem 1/\sqrt{2}.
Em conjunto, o gráfico mostra:
* Filtro passa-baixa: platô em G=1 até \omega_{c}, depois queda como 1/\omega.
* Filtro passa-alta: rampa como \omega/\omega_{c} até \omega_{c}, depois platô em G=1.

Resposta

No mesmo sistema de eixos \omega versus G(\omega):
– Curva do passa-baixa: sólida, começa em G=1 para \omega\to0, mantém-se plana até \omega_{c}, depois decai como 1/\omega.
– Curva do passa-alta: tracejada, começa em zero para \omega\to0, cresce linearmente até \omega_{c}, depois mantém-se em G=1 para \omega\gg\omega_{c}.
A frequência de corte \omega_{c} é onde cada curva atinge G=1/\sqrt{2}, e os comportamentos assintóticos são G_{\text{LP}}\approx1 (baixa) e G_{\text{LP}}\approx\omega_{c}/\omega (alta frequência) para o passa-baixa, e G_{\text{HP}}\approx\omega/\omega_{c} (baixa frequência) e G_{\text{HP}}\approx1 (alta frequência) para o passa-alta.

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