Gram-Schmidt: Encontre vetores ortonormais q1 e q2 no plano gerado por a=(1,3,4,5,7) e b=(-6,6,8,0,8).

Passo 1

O enunciado pede para usar o processo de Gram–Schmidt para obter dois vetores ortonormais q1 e q2 que gerem o mesmo subespaço de R^5 gerado por
a=(1,3,4,5,7) e b=(-6,6,8,0,8).
Para isso vamos precisar de produto interno padrão em R^5, norma induzida e projeção ortogonal.

Passo 2

Começamos por normalizar a. Primeiro calculamos sua norma:
|a|=raiz1^2+3^2+4^2+5^2+7^2 =raiz1+9+16+25+49 =raiz100 =10
Portanto
q1 =a|a| =110,(1,3,4,5,7)

Passo 3

Agora projetamos b sobre q1 e subtraímos para obter o segundo vetor não normalizado u2. Primeiro o produto interno:
lang<= b,q1rang<= =-6+18+32+0+5610 =10010 =10
Logo a projeção é
projq1(b) =10,q1 =(1,3,4,5,7),
e daí
u2 =b-projq1(b) =(-6,6,8,0,8)-(1,3,4,5,7) =(-7,3,4,-5,1)

Passo 4

Por fim normalizamos u2. Calculamos sua norma:
|u2| =raiz(-7)^2+3^2+4^2+(-5)^2+1^2 =raiz49+9+16+25+1 =raiz100 =10
Então
q2 =u2|u2| =110,(-7,3,4,-5,1)

Resposta

q1=110,(1,3,4,5,7), q2=110,(-7,3,4,-5,1)

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