Calcule P=Q Q^T quando q1=(8, 6,0) e q2=(-6, 8,0). Verifique que P^2=P.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz
P ;=; Q,Q^T
onde Q é a matriz cujas colunas são q1 e q2 em R^3, e em seguida verificar que P^2=P.
Conteúdo: produto de matrizes e propriedade de matrizes de projeção (idempotência).

Passo 2

Formamos a matriz QinR^3times2 com as colunas dadas:
Q = 0,8 & -0,6 0,6 & 0,8 0 & 0

Passo 3

Usamos a definição de produto P=Q,Q^T, cujos elementos são
Pij ;=;sumk=1^2Qik,Qjk
Calculando linha a linha:
  • P11=0,8^2+(-0,6)^2=0,64+0,36=1.
  • P12=0,8cdot0,6+(-0,6)cdot0,8=0,48-0,48=0.
  • P13=0,8cdot0+(-0,6)cdot0=0.
  • P22=0,6^2+0,8^2=0,36+0,64=1.
  • P23=0,6cdot0+0,8cdot0=0.
  • P33=0^2+0^2=0.

Passo 4

Assim obtemos
P = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0

Passo 5

Para verificar a idempotência, calculamos P^2=P,P. Como P já é diagonal com entradas 1,1,0, temos imediatamente
P^2 = 1^2 & 0 & 0 0 & 1^2 & 0 0 & 0 & 0^2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 = P,
confirmando que P^2=P.

Resposta

P = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , P^2=P

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