Um grama de gelo, inicialmente a -40^{\circ} \mathrm{C}, é posto em uma fonte de calor. Neste experimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido Q(T), em calorias, para que a amostra atinja temperatura T, em { }^{\circ} \mathrm{C}. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua temperatura em 2^{\circ} \mathrm{C}. Quando atinge 0^{\circ} \mathrm{C}, são necessárias mais 80 cal para o derretimento total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a água necessita de 1 cal para aumentar sua temperatura em 1^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Calcule Q(-40), Q(-38), Q(0), Q(1) e Q(2).
(b) Determine a expressão de Q(T), para T \in[-40,80].

Passo 1

O enunciado descreve 1 g de gelo inicialmente a -40^\circ\mathrm{C} que recebe calor até atingir temperatura T. Para resolver precisamos de calorimetria: calor sensível no gelo, calor latente de fusão e calor sensível na água.

Passo 2

Identificamos os dados térmicos:
c_{\text{gelo}}=\frac{1\text{ cal}}{2^\circ\mathrm{C}\cdot\text{g}}=0{,}5\;\frac{\text{cal}}{\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}},
L_f=80\;\frac{\text{cal}}{\text{g}}, \qquad c_{\text{água}}=1\;\frac{\text{cal}}{\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}}.á

Passo 3

Para temperaturas -40\le T\le0 o gelo aquece sem fusão:
Q(T)=m\,c_{\text{gelo}}\,(T-(-40))=1\cdot0{,}5\,(T+40).
Assim
Q(-40)=0{,}5\,( -40+40)=0, \quad Q(-38)=0{,}5\,( -38+40)=1, \quad Q(0)=0{,}5\,(0+40)=20.

Passo 4

Para 0<T\le80 há aquecimento do gelo até 0^\circ\mathrm{C} ( 20 cal), fusão ( 80 cal) e aquecimento da água de 0 até T:
Q(T)=20+80+1\cdot T=100+T.
Logo
Q(1)=100+1=101, \quad Q(2)=100+2=102.

Passo 5

A função Q(T), para -40\le T\le80, é dada por
Q(T)= \begin{cases} 0{,}5\,(T+40),&-40\le T\le0,\\\\ 100+T,&0<T\le80. \end{cases}

Resposta

Q(-40) =0 cal
Q(-38) =1 cal
Q(0) =20 cal
Q(1) =101 cal
Q(2) =102 cal Q(T)= \begin{cases} 0{,}5\,(T+40),&-40\le T\le0,\\\\ 100+T,&0<T\le80. \end{cases}

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