Um grama de gelo, inicialmente a -40^{\circ} \mathrm{C}, é posto em uma fonte de calor. Neste experimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido Q(T), em calorias, para que a amostra atinja temperatura T, em { }^{\circ} \mathrm{C}. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua temperatura em 2^{\circ} \mathrm{C}. Quando atinge 0^{\circ} \mathrm{C}, são necessárias mais 80 cal para o derretimento total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a água necessita de 1 cal para aumentar sua temperatura em 1^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Calcule Q(-40), Q(-38), Q(0), Q(1) e Q(2).
(b) Determine a expressão de Q(T), para T \in[-40,80].

Passo 1

O enunciado trata de calorimetria: temos 1 g de gelo a -40^\circ\mathrm{C} que recebe calor até atingir uma temperatura final T. Sabemos que:
  • Para o gelo, cada 1 cal eleva T em 2^\circ\mathrm{C}.
  • Em 0^\circ\mathrm{C} precisamos de 80 cal para derreter totalmente (calor latente).
  • Para a água resultante, cada 1 cal eleva T em 1^\circ\mathrm{C}.
Vamos achar Q(T), o calor total (em cal) absorvido para chegar a T, e depois calcular valores específicos.

Passo 2

Para aquecer o gelo de -40^\circ\mathrm{C} até uma temperatura T (com -40\le T\le0), usamos que cada calor de 1 cal gera \Delta T=2^\circ\mathrm{C}. Logo o calor específico do gelo é
c_{\rm gelo}=\frac{1}{2}\;\frac{\text{cal}}{\!^\circ\mathrm{C}}\!.
O calor necessário é
Q(T)=c_{\rm gelo}\,(T-(-40))=0,5\,(T+40).

Passo 3

Ao atingir 0^\circ\mathrm{C}, para derreter totalmente o gelo preciso adicionar o calor latente
Q_{\rm lat}=80\text{ cal}.

Passo 4

Depois de derretido T\ge0, aquece-se água líquida com calor específico c_{\rm água}=1\;\frac{\text{cal}}{^\circ\mathrm{C}}á. Para elevar de 0 a T>0:
Q_{\rm água}=1\cdot(T-0)=T\text{ cal}.á
Somando tudo, para 0< T\le80:
Q(T)=Q(0^-)+Q_{\rm lat}+Q_{\rm água} =0,5\,(0+40)+80+T =20+80+T=100+T.á

Passo 5

Agora calculamos os valores pedidos:
  • Q(-40): no início, sem aquecimento, é zero.
  • Q(-38): uso Q(T)=0,5\,(T+40) com T=-38.
  • Q(0): mesma fórmula em T=0.
  • Q(1) e Q(2): uso Q(T)=100+T.

Passo 6

Juntando tudo em forma de resposta:

Resposta

Q(-40)=0 Q(-38)=1 Q(0)=20 Q(1)=101 Q(2)=102
A expressão geral para -40\le T\le80 é
Q(T)= \begin{cases} 0,5\,(T+40),&-40\le T\le0,\\\\ 100+T,&0< T\le80. \end{cases}

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