Um produtor tem a função de produção,
Y=5 K^{1 / 2} L^{1 / 2}
Se o preço do trabalho (L) é \ 3 e o preço do capital (çK ) éé$4 , encontre os valores deL eK$ que produzem uma quantidade de 200 unidades com o menor custo possível.

Passo 1

Temos a função de produção
Y = 5\,K^{1/2}L^{1/2}
e os preços dos fatores: trabalho a \$3 por unidade e capital a \$4 por unidade. Queremos escolher L e K que:
  1. Gerem Y=200 unidades.
  2. Minimizem o custo total
C = 3L + 4K.
O conteúdo aqui é minimização de custo sujeita a uma restrição de produção, usando a condição de tangência MRTS = w/r.

Passo 2

Calculemos os produtos marginais:
MPL = \frac{\partial Y}{\partial L} = 5 \cdot \tfrac12\,K^{1/2}L^{-1/2} = \frac{5}{2}\Bigl(\frac{K}{L}\Bigr)^{1/2},
MPK = \frac{\partial Y}{\partial K} = 5 \cdot \tfrac12\,K^{-1/2}L^{1/2} = \frac{5}{2}\Bigl(\frac{L}{K}\Bigr)^{1/2}.
O MRTS (taxa marginal de substituição técnica) é
MRTS = \frac{MPL}{MPK} = \frac{\bigl(K/L\bigr)^{1/2}}{\bigl(L/K\bigr)^{1/2}} = \frac{K}{L}.
Na condição de mínimo de custo, igualamos
MRTS = \frac{w}{r} \quad\Longrightarrow\quad \frac{K}{L} = \frac{3}{4}.

Passo 3

Da relação \tfrac{K}{L} = \tfrac{3}{4} segue
K = \frac{3}{4}\,L.

Passo 4

Impondo a quantidade Y=200:
200 = 5\,(K\,L)^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad (K\,L)^{1/2} = 40 \quad\Longrightarrow\quad K\,L = 1600.
Substituindo K = \tfrac{3}{4}L:
\frac{3}{4}L \cdot L = 1600 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{4}L^2 = 1600 \quad\Longrightarrow\quad L^2 = \frac{1600\cdot4}{3} = \frac{6400}{3} \quad\Longrightarrow\quad L = \sqrt{\frac{6400}{3}} = \frac{80\sqrt{3}}{3}.

Passo 5

Encontramos K pela relação do passo 3:
K = \frac{3}{4}\,L = \frac{3}{4}\,\frac{80\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}.

Resposta

L = \dfrac{80\sqrt{3}}{3} unidades e K = 20\sqrt{3} unidades.

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