Grande parte dos brasileiros guarda suas reservas financoiras em cadernetas de poupaniça. O rendimento líquido anual da caderneta de poupança gira em torno de 6 %. Isso significa que a cada ano o saldo cresce 6 % em relação ao saldo do ano anterior.
É possível que em algum momento o saldo dessa poupança venha a dobrar? Ein quanto tempo?

Passo 1

O enunciado diz que uma caderneta de poupança rende 6% ao ano, ou seja, todo ano o saldo cresce 6% sobre o ano anterior. A pergunta é se o saldo pode dobrar e em quanto tempo isso ocorreria. O conteúdo aqui é juros compostos e vamos usar modelos de crescimento exponencial.

Passo 2

Em regimes de juros compostos, o saldo depois de t anos é dado por
P(t) = P0 cdot (1 + 0,06)^t onde P0 é o saldo inicial.

Passo 3

Para que o saldo dobre, precisamos de
P(t) = 2P0 Substituindo na fórmula do saldo temos
P0 cdot (1,06)^t = 2P0

Passo 4

Dividindo ambos os lados por P0 (que é diferente de zero) vem
(1,06)^t = 2 Para resolver essa equação exponencial, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
lnl((1,06)^tr) = ln 2

Passo 5

Usando a propriedade ln(a^b)=bln a, temos
t cdot ln(1,06) = ln 2 Isolando t ficamos com
t = ln 2ln(1,06)

Passo 6

Agora, basta calcular numericamente:
ln 2 approx 0,6931, ln(1,06) approx 0,0583 Logo,
t approx 0,69310,0583 approx 11,9 anos

Resposta

Sim, o saldo dobra. O tempo necessário é aproximadamente 11,9 anos (aproximadamente 12 anos).

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