Uma grande placa se move com uma velocidade u sobre uma placa estacionária, sendo que entre elas há uma camada de óleo. Se um perfil linear for considerado, qual a tensão de cisalhamento na placa superior e qual a força atuante uma seção de 200 \mathrm{~mm} \times 350 \mathrm{~mm} da placa. A viscosidade absoluta do óleo é de 0,08 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}, a altura da camada de óleo 2,3 \mathrm{~mm} e a velocidade da placa é 0,73 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a tensão de cisalhamento na placa superior.
  • Calcular a força resultante sobre uma seção da placa de 200\\ \mathrm{mm}\times350\\ \mathrm{mm}.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • viscosidade absoluta do óleo: \mu = 0,08\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
  • espessura da camada de óleo: h = 2,3\\ \mathrm{mm}.
  • velocidade da placa superior: u = 0,73\\ \mathrm{m/s}.
  • área da seção: 200\\ \mathrm{mm}\times350\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e intuitiva):
  • Tensão de cisalhamento (ou esforço cortante) \tau em um fluido newtoniano é dada pela lei de Newton da viscosidade:
\tau = \mu\,\frac{du}{dy}.
  • Aqui \tau é a tensão de cisalhamento (força por unidade de área, em \mathrm{N/m^{2}} ou Pa), \mu é a viscosidade dinâmica (ou absoluta) do fluido ( \mathrm{N\cdot s/m^{2}}), u é a velocidade do fluido na direção paralela às placas e y é a coordenada perpendicular às placas. O termo \dfrac{du}{dy} é o gradiente de velocidade perpendicular — ou seja, quão rápido a velocidade muda atravessando a camada de óleo.
Explicando de forma bem prática: se a velocidade varia linearmente de zero na placa fixa até u na placa móvel, então a inclinação da velocidade é simplesmente u/h. Esse é o caso clássico de escoamento de Couette entre duas placas paralelas com perfil linear de velocidade.

Passo 3

Aplicando a hipótese de perfil linear:
  • Com perfil linear de velocidade entre as placas temos
\frac{du}{dy}=\frac{u}{h}.
  • Substituindo na lei de Newton da viscosidade:
\tau = \mu\,\frac{u}{h}.
Explicando as unidades rapidamente: \mu tem unidades \mathrm{N\cdot s/m^{2}}, u tem \mathrm{m/s} e h tem \mathrm{m}. Ao multiplicar e dividir sai \mathrm{N/m^{2}}, que é Pa — unidade correta para tensão.

Passo 4

Converter unidades numéricas para o Sistema Internacional:
  • h = 2,3\\ \mathrm{mm} = 2,3\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Não há necessidade de converter \mu e u (já estão em SI).
Calcular \tau passo a passo:
  • Primeiro o produto \mu\cdot u:
\mu\cdot u = 0,08\times0,73 = 0,0584\quad(\mathrm{N\cdot s/m^{2}}\cdot\mathrm{m/s}=\mathrm{N/m^{2}}).
  • Agora dividir por h:
\tau = \frac{0,0584}{2,3\times10^{-3}} = 25,3913\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
\tau \approx 25,39\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular a área da seção e a força:
  • Área da seção dada:
A = 200\\ \mathrm{mm}\times350\\ \mathrm{mm} = 0,200\\ \mathrm{m}\times0,350\\ \mathrm{m}=0,070\\ \mathrm{m^{2}}.
  • A força viscosa total sobre essa área é
F = \tau\cdot A.

Passo 6

Multiplicação final para obter a força:
  • Usando \tau \approx 25,3913\\ \mathrm{Pa} e A=0,07\\ \mathrm{m^{2}}:
F = 25,3913\times0,07 = 1,777391\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando para duas casas decimais:
F \approx 1,78\\ \mathrm{N}.

Resposta

\tau \approx 25,39\\ \mathrm{Pa}
F \approx 1,78\\ \mathrm{N}

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