O campo de velocidade na linha de centro de uma tubulação é: \vec{V}=C\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right) \hat{\imath}. Quais as considerações necessárias para este escoamento? Qual é a expressão para a aceleração { }^{d a} partícula, movendo-se na linha de centro? ( 1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade na linha de centro da tubulação:
\vec{V}=C\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)\hat{\imath}.
O que se pede:
  • Quais as considerações necessárias para este escoamento (ou seja, que hipóteses/observações devemos tomar ao usar esse campo)?
  • Qual é a expressão para a aceleração de uma partícula que se move ao longo da linha de centro?
Informações relevantes fornecidas:
  • C e L são constantes (presumidamente com C dimensões de velocidade e L de comprimento).
  • O campo tem somente componente na direção x (unidimensional sobre a linha de centro).
  • Não há dependência explícita do tempo no enunciado (campo apresentado só depende de x).

Passo 2

Conceito que vamos usar: aceleração de uma partícula que se move com o fluido é o derivativo material do campo de velocidade. A fórmula geral é
\vec{a}=\frac{D\vec{V}}{Dt}=\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Explicando termos:
  • \dfrac{\partial\vec{V}}{\partial t} é a aceleração local (variação temporal do campo num ponto fixo).
  • (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é a aceleração convectiva (variação espacial do campo transportada pelo movimento do fluido).
    Aqui cada símbolo significa:
  • \vec{V} : campo de velocidade (vetor).
  • t : tempo.
  • \nabla : operador gradiente espacial.
  • \vec{a} : aceleração da partícula que segue o fluxo.

Passo 3

Aplicando as observações do passo 1: o campo dado não depende de t, logo
\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}=\vec{0}.
Portanto toda a aceleração vem do termo convectivo:
\vec{a}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Como \vec{V}=V_x(x)\,\hat{\imath} com V_x(x)=C\!\left(2+\dfrac{x^2}{L^2}\right), temos
\vec{V}\cdot\nabla = V_x(x)\,\frac{\partial}{\partial x}.
Então
(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}=V_x(x)\,\frac{\partial}{\partial x}\big[\,V_x(x)\,\hat{\imath}\,\big] =V_x(x)\,\frac{dV_x}{dx}\,\hat{\imath}.

Passo 4

Calcular a derivada espacial dV_x/dx. Usando V_x(x)=C\left(2+\dfrac{x^2}{L^2}\right),
\frac{dV_x}{dx}=C\cdot\frac{2x}{L^2}.
Substituindo em V_x\,\dfrac{dV_x}{dx}:
\vec{a}=V_x(x)\,\frac{dV_x}{dx}\,\hat{\imath} = C\!\left(2+\frac{x^2}{L^2}\right)\cdot C\frac{2x}{L^2}\,\hat{\imath}.
Reorganizando,
\vec{a}=\frac{2C^{2}x}{L^{2}}\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)\hat{\imath}.
Opcionalmente pode-se expandir:
\vec{a}=\left(\frac{4C^{2}x}{L^{2}}+\frac{2C^{2}x^{3}}{L^{4}}\right)\hat{\imath}.

Passo 5

Verificação alternativa (intuitiva) via equação de movimento do ponto material:
  • Uma partícula que segue o escoamento satisfaz \dfrac{dx}{dt}=V_x(x).
  • Então \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=\dfrac{d}{dt}V_x(x(t))=\dfrac{dV_x}{dx}\dfrac{dx}{dt}=V_x\,\dfrac{dV_x}{dx},
    o que coincide com o termo convectivo calculado acima. Bom para lembrar na prova: derivada temporal total = derivada espacial vezes velocidade.

Passo 6

Discussão das considerações físicas (resumidas e importantes para a prova):
  • O campo é steady (estacionário): não depende de t.
  • É unidimensional ao longo da linha de centro: somente componente x.
  • O campo é espacialmente não uniforme (depende de x), portanto há aceleração convectiva mesmo sendo steady.
  • Sobre incompressibilidade: com apenas a informação da linha de centro não se pode concluir a incompressibilidade do escoamento 3D. Se esse fosse o campo completo (apenas componente x em todo o domínio), então \nabla\cdot\vec{V}=\frac{dV_x}{dx}=C\frac{2x}{L^2},que não é zero em geral — logo não seria incompressível. Para manter incompressibilidade em um tubo real, necessariamente haveria componentes transversais (ou variação de área) que compensassem essa divergência ao longo da linha de centro.
  • Dimensionalmente: C tem dimensão de velocidade e L de comprimento; isso garante consistência física das expressões.
  • No ponto x=0 a aceleração é zero (por simetria local), mas para x\neq0 a aceleração é não nula e muda de sinal com x (note que expressão é proporcional a x).

Resposta

Considerações: escoamento estacionário e unidimensional sobre a linha de centro; velocidade varia com x (há aceleração convectiva); se o campo fornecido fosse o campo completo então \nabla\cdot\vec{V}=C\frac{2x}{L^{2}}\neq0 em geral, portanto não incompressível a menos que existam componentes transversais compensadores.
\displaystyle \vec{a}=\frac{2C^{2}x}{L^{2}}\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)\hat{\imath}

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