O campo de velocidade na linha de centro de uma tubulação é:
. Quais as considerações necessárias para este escoamento? Qual é a expressão para a aceleração
partícula, movendo-se na linha de centro? ( 1,0 ponto).
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade na linha de centro da tubulação:
O que se pede:
- Quais as considerações necessárias para este escoamento (ou seja, que hipóteses/observações devemos tomar ao usar esse campo)?
- Qual é a expressão para a aceleração de uma partícula que se move ao longo da linha de centro?
Informações relevantes fornecidas:
-
e são constantes (presumidamente com dimensões de velocidade e de comprimento). - O campo tem somente componente na direção
(unidimensional sobre a linha de centro). - Não há dependência explícita do tempo no enunciado (campo apresentado só depende de
).
Passo 2
Conceito que vamos usar: aceleração de uma partícula que se move com o fluido é o derivativo material do campo de velocidade. A fórmula geral é
Explicando termos:
-
é a aceleração local (variação temporal do campo num ponto fixo). -
é a aceleração convectiva (variação espacial do campo transportada pelo movimento do fluido).
Aqui cada símbolo significa: -
: campo de velocidade (vetor). -
: tempo. -
: operador gradiente espacial. -
: aceleração da partícula que segue o fluxo.
Passo 3
Aplicando as observações do passo 1: o campo dado não depende de
, logo
Portanto toda a aceleração vem do termo convectivo:
Como
com
, temos
Então
Passo 4
Calcular a derivada espacial
. Usando
,
Substituindo em
:
Reorganizando,
Opcionalmente pode-se expandir:
Passo 5
Verificação alternativa (intuitiva) via equação de movimento do ponto material:
- Uma partícula que segue o escoamento satisfaz
. - Então
,
o que coincide com o termo convectivo calculado acima. Bom para lembrar na prova: derivada temporal total = derivada espacial vezes velocidade.
Passo 6
Discussão das considerações físicas (resumidas e importantes para a prova):
- O campo é steady (estacionário): não depende de
. - É unidimensional ao longo da linha de centro: somente componente
. - O campo é espacialmente não uniforme (depende de
), portanto há aceleração convectiva mesmo sendo steady. - Sobre incompressibilidade: com apenas a informação da linha de centro não se pode concluir a incompressibilidade do escoamento 3D. Se esse fosse o campo completo (apenas componente
em todo o domínio), então que não é zero em geral — logo não seria incompressível. Para manter incompressibilidade em um tubo real, necessariamente haveria componentes transversais (ou variação de área) que compensassem essa divergência ao longo da linha de centro. - Dimensionalmente:
tem dimensão de velocidade e de comprimento; isso garante consistência física das expressões. - No ponto
a aceleração é zero (por simetria local), mas para a aceleração é não nula e muda de sinal com (note que expressão é proporcional a ).
Resposta
Considerações: escoamento estacionário e unidimensional sobre a linha de centro; velocidade varia com
(há aceleração convectiva); se o campo fornecido fosse o campo completo então
em geral, portanto não incompressível a menos que existam componentes transversais compensadores.