Grandes peças de máquinas que serão submetidas a rotações prolongadas em alta velocidade costumam ser testadas em um sistema de ensaio de rotação. Nesse sistema, a peça é posta para girar rapidamente no interior de uma montagem cilíndrica de tijolos de chumbo com um revestimento de contenção, tudo isso dentro de uma câmara de aço fechada por uma tampa lacrada. Se a rotação faz a peça se estilhaçar, os tijolos de chumbo, sendo macios, capturam os fragmentos para serem posteriormente analisados.
Em 1985, a empresa Test Devices, Inc. (www.testdevices.com) estava testando um rotor de aço maciço, em forma de disco, com uma massa
e um raio
. Quando a peça atingiu uma velocidade angular
, os engenheiros que realizavam o ensaio ouviram um ruído seco na câmara, que ficava um andar abaixo e uma sala de distância. Na investigação, descobriram que tijolos de chumbo haviam sido lançados no corredor que levava à sala de testes, uma das portas da sala havia sido arremessada no estacionamento do lado de fora do prédio, um tijolo de chumbo havia atravessado a parede e invadido a cozinha de um vizinho, as vigas estruturais do edifício do teste tinham sido danificadas, o chão de concreto abaixo da câmara de ensaios havia afundado cerca de
e a tampa de 900 kg tinha sido lançada para cima, atravessara o teto e caíra de volta, destruindo o equipamento de ensaio. Os fragmentoś da explosão só não penetraram na sala dos engenheiros por pura sorte.
Qual foi a energia liberada na explosão do rotor?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede a energia liberada pela explosão do rotor:
- Massa do disco:
. - Raio do disco:
. - Velocidade de rotação quando estilhaçou:
.
O que se pede: calcular a energia liberada na explosão do rotor (assumindo que toda a energia rotacional do disco foi liberada).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula curtinha e prática).
- Energia cinética de rotação: é a energia associada ao movimento de rotação de um corpo rígido. É análoga à energia cinética de translação
, mas com massa substituída pelo momento de inércia e velocidade linear substituída pela velocidade angular. A fórmula é
onde:
-
é a energia cinética rotacional (em joules, ); -
é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (em ); -
é a velocidade angular (em ). - Momento de inércia do disco maciço e uniforme (eixo pelo centro, perpendicular ao plano do disco): pode-se obter dividindo o disco em anéis concêntricos e somando suas contribuições; o resultado conhecido é
Explicando a ideia do cálculo do momento de inércia (resumido): dividindo o disco em anéis de raio
e espessura
, a massa do anel é
com
. A contribuição do anel é
. Integrando de
a
obtemos
. Isso é prática útil na prova: decorar o resultado e entender a origem.
Passo 3
Converter unidades para o SI e calcular
.
- Converter o raio para metros:
- Converter a velocidade de rotação de
para . Primeiro :
Cada revolução tem
radianos, logo
Valor numérico aproximado:
Passo 4
Calcular o momento de inércia
do disco com os valores dados.
Usando :
Usando
Calcule passo a passo:
Passo 5
Calcular a energia rotacional
numericamente.
Usando os valores obtidos:
Usando os valores obtidos:
Para facilitar a verificação, segue a conta organizada:
Arredondando para três algarismos significativos, obtemos aproximadamente
. (Para intuição rápida: isso equivale a cerca de
de TNT, posto que
de TNT libera aproximadamente
.)
Passo 6
Resumo didático-final e encorajamento rápido:
- A energia liberada corresponde essencialmente à energia cinética rotacional do disco no momento da fratura; para um disco maciço a fórmula fechada e as conversões são suficientes para achar o número.
- Você pode repetir esse procedimento em prova: (1) converter unidades, (2) calcular
conforme o sólido, (3) usar e (4) arredondar. Tá indo bem — isso assusta no enunciado, mas a conta é direta quando se domina essas etapas.