Grandes peças de máquinas que serão submetidas a rotações prolongadas em alta velocidade costumam ser testadas em um sistema de ensaio de rotação. Nesse sistema, a peça é posta para girar rapidamente no interior de uma montagem cilíndrica de tijolos de chumbo com um revestimento de contenção, tudo isso dentro de uma câmara de aço fechada por uma tampa lacrada. Se a rotação faz a peça se estilhaçar, os tijolos de chumbo, sendo macios, capturam os fragmentos para serem posteriormente analisados.
Em 1985, a empresa Test Devices, Inc. (www.testdevices.com) estava testando um rotor de aço maciço, em forma de disco, com uma massa M=272 \mathrm{~kg} e um raio R=38,0 \mathrm{~cm}. Quando a peça atingiu uma velocidade angular \omega \mathrm{de} 14000 \mathrm{rev} / \mathrm{min}, os engenheiros que realizavam o ensaio ouviram um ruído seco na câmara, que ficava um andar abaixo e uma sala de distância. Na investigação, descobriram que tijolos de chumbo haviam sido lançados no corredor que levava à sala de testes, uma das portas da sala havia sido arremessada no estacionamento do lado de fora do prédio, um tijolo de chumbo havia atravessado a parede e invadido a cozinha de um vizinho, as vigas estruturais do edifício do teste tinham sido danificadas, o chão de concreto abaixo da câmara de ensaios havia afundado cerca de 0,5 \mathrm{~cm} e a tampa de 900 kg tinha sido lançada para cima, atravessara o teto e caíra de volta, destruindo o equipamento de ensaio. Os fragmentoś da explosão só não penetraram na sala dos engenheiros por pura sorte.
Qual foi a energia liberada na explosão do rotor?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a energia liberada pela explosão do rotor:
  • Massa do disco: M=272\\ \mathrm{kg}.
  • Raio do disco: R=38{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Velocidade de rotação quando estilhaçou: 14000\\ \mathrm{rev/min}.
    O que se pede: calcular a energia liberada na explosão do rotor (assumindo que toda a energia rotacional do disco foi liberada).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula curtinha e prática).
  • Energia cinética de rotação: é a energia associada ao movimento de rotação de um corpo rígido. É análoga à energia cinética de translação \tfrac{1}{2}mv^2, mas com massa substituída pelo momento de inércia e velocidade linear substituída pela velocidade angular. A fórmula é
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2},
onde:
  • K_{\text{rot}} é a energia cinética rotacional (em joules, \text{J});
  • I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (em \mathrm{kg\cdot m^{2}});
  • \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}).
  • Momento de inércia do disco maciço e uniforme (eixo pelo centro, perpendicular ao plano do disco): pode-se obter dividindo o disco em anéis concêntricos e somando suas contribuições; o resultado conhecido é
I=\tfrac{1}{2}MR^{2}.
Explicando a ideia do cálculo do momento de inércia (resumido): dividindo o disco em anéis de raio r e espessura dr, a massa do anel é dm=\sigma\cdot 2\pi r\,dr com \sigma=M/(\pi R^{2}). A contribuição do anel é dI=r^{2}dm. Integrando de 0 a R obtemos I=\tfrac{1}{2}MR^{2}. Isso é prática útil na prova: decorar o resultado e entender a origem.

Passo 3

Converter unidades para o SI e calcular \omega.
  • Converter o raio para metros:
R=38{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}380\\ \mathrm{m}.
  • Converter a velocidade de rotação de \mathrm{rev/min} para \mathrm{rad/s}. Primeiro \mathrm{rev/min}\to\mathrm{rev/s}:
14000\\ \mathrm{rev/min}=\frac{14000}{60}\\ \mathrm{rev/s}=\frac{700}{3}\\ \mathrm{rev/s}.
Cada revolução tem 2\pi radianos, logo
\omega=\frac{700}{3}\cdot 2\pi=\frac{1400}{3}\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Valor numérico aproximado:
\omega\approx 1466{,}08\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular o momento de inércia I do disco com os valores dados.
Usando I=\tfrac{1}{2}MR^{2}:
I=\tfrac{1}{2}\cdot 272\cdot (0{,}380)^{2}.
Calcule passo a passo:
(0{,}380)^{2}=0{,}1444,
272\cdot 0{,}1444=39{,}2768,
I=\tfrac{1}{2}\cdot 39{,}2768=19{,}6384\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 5

Calcular a energia rotacional K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2} numericamente.
Usando os valores obtidos:
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}\cdot 19{,}6384\cdot\left(\frac{1400}{3}\pi\right)^{2}.
Para facilitar a verificação, segue a conta organizada:
\tfrac{1}{2}\cdot 19{,}6384=9{,}8192,
\left(\frac{1400}{3}\pi\right)^{2}=\frac{1{,}960{,}000}{9}\pi^{2}\approx 2{,}149{,}386{,}0,
K_{\text{rot}}=9{,}8192\times 2{,}149{,}386{,}0\approx 21{,}105{,}252\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos, obtemos aproximadamente 2{,}11\times 10^{7}\\ \mathrm{J}. (Para intuição rápida: isso equivale a cerca de 5\\ \mathrm{kg} de TNT, posto que 1\\ \mathrm{kg} de TNT libera aproximadamente 4,184\times 10^{6}\\ \mathrm{J}.)

Passo 6

Resumo didático-final e encorajamento rápido:
  • A energia liberada corresponde essencialmente à energia cinética rotacional do disco no momento da fratura; para um disco maciço a fórmula fechada e as conversões são suficientes para achar o número.
  • Você pode repetir esse procedimento em prova: (1) converter unidades, (2) calcular I conforme o sólido, (3) usar K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2} e (4) arredondar. Tá indo bem — isso assusta no enunciado, mas a conta é direta quando se domina essas etapas.

Resposta

\,2,11\times10^{7}\\ \text{J}

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