Um bloco de massa 3.8 kg é deixado cair a partir do repouso sobre uma mola com constante elástica k=2000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A altura incial do bloco é 26 cm . A variação máxima do comprimento da mola em m é:
(a) 0.12
(b) 0.15
(c) 0.05
(d) 0.06

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a variação máxima do comprimento da mola (compressão máxima) quando o bloco atinge o repouso momentâneo após comprimir a mola:
  • Massa do bloco: m=3,8\\ \text{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=2000\\ \text{N/m}.
  • Altura inicial do bloco acima do topo da mola (mola sem compressão): h=0,26\\ \text{m}.
  • O bloco é solto a partir do repouso.
    A pergunta é: qual a compressão máxima x da mola (em metros)? As alternativas são (a)\\\ 0,12,\\ (b)\\\ 0,15,\\ \text{(c)}\\\ 0,05,\\ (d)\\\ 0,06.

Passo 2

Ideia física e escolha do referencial (explicação didática):
  • Quando o bloco é solto, sua energia mecânica total (energia potencial gravitacional) vai sendo convertida em energia elástica da mola até que, na máxima compressão, a velocidade é nula e toda energia disponível está na mola e na alteração da energia gravitacional.
  • Para aplicar conservação de energia, escolhe-se o nível de referência de energia gravitacional no topo da mola (antes da compressão). Assim:
    • Energia potencial gravitacional inicial: U_{g,i}=m g h.
    • Na máxima compressão x a posição do bloco está x abaixo do topo da mola, então a energia gravitacional final é U_{g,f}=-m g x.
    • Energia potencial elástica na máxima compressão: U_{s,f}=\dfrac{1}{2}k x^{2}.
    • Como a velocidade final é zero, energia cinética final K_f=0.
  • Conservação de energia (energia inicial = energia final):
m g h = -m g x + \frac{1}{2}k x^{2}.
Essa equação diz: a energia gravitacional perdida ao descer de h até -x virou energia elástica na mola.

Passo 3

Colocar a equação em forma de equação quadrática e explicar cada termo:
  • Reescrevendo a equação para agrupá-la:
\frac{1}{2}k x^{2} - m g x - m g h = 0.
Aqui:
  • a=\dfrac{1}{2}k é o coeficiente do termo x^{2},
  • b=-m g é o coeficiente do termo x,
  • c=-m g h é o termo independente.
    Iremos resolver essa quadrática para x usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 4

Substituir os dados numéricos e calcular os coeficientes (contas passo a passo):
  • Primeiro calcule a, b e c.
a=\frac{1}{2}k=\frac{1}{2}\cdot2000=1000.
b=-m g = -3,8\cdot 9,8 = -37,24.
c=-m g h = -3,8\cdot 9,8\cdot 0,26 = -9,6824.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Bhaskara e calcular o discriminante:
  • Fórmula para raízes: x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
  • Calcular b^{2}:
b^{2}=(-37,24)^{2}=1386,8176.
  • Calcular 4ac:
4ac = 4\cdot 1000\cdot(-9,6824) = -38729,6.
  • Portanto o discriminante \Delta = b^{2}-4ac é
\Delta = 1386,8176 - (-38729,6) = 1386,8176 + 38729,6 = 40116,4176.
  • Raiz quadrada do discriminante:
\sqrt{\Delta} \approx 200,289.

Passo 6

Encontrar as raízes e escolher a física correta (explicação intuitiva):
  • Agora as soluções são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{37,24\pm 200,289}{2000}.
  • Duas soluções numéricas:
    • x_{1}=\dfrac{37,24+200,289}{2000}=\dfrac{237,529}{2000}\approx 0,1187645\\ \text{m}.
    • x_{2}=\dfrac{37,24-200,289}{2000}=\dfrac{-163,049}{2000}\approx -0,0815245\\ \text{m}.
  • Interpretação física: a compressão x deve ser positiva, então descartamos a raiz negativa. Portanto a compressão máxima é
x\approx 0,1188\\ \text{m}.

Passo 7

Arredondamento e escolha entre as alternativas:
  • Arredondando para duas casas decimais: x\approx 0,12\\ \text{m}.
  • Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

0,12\\ \text{m} (alternativa (a))

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