As grandes turbinas eólicas disponíveis comercialmente incluem diâmetros de até 100 m e geram mais de 3 M W de energia elétrica em condições ótimas de projeto. Considere uma turbina eólica com
envergadura de lâmina de 60 m sujeita a ventos constantes de 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Se a eficiência combinada de turbina e gerador da turbina eólica for de 32 \%, determine:
a) A potência máxima gerada pela turbina considerando que toda energia cinética é convertida.
b) A potência real gerada pela turbina.
c) A força horizontal exercida pelo vento sobre o mastro de suporte da turbina. Assuma que a energia não convertida equivale à energia cinética na saída. Tome a densidade do ar como 1,25 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e despreze os efeitos de atrito (energia não convertida será igual à energia cinética na saída).

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) A potência máxima gerada se toda a energia cinética do vento incidente sobre a área varrida pelas lâminas for convertida em energia elétrica.
  • (b) A potência real gerada considerando uma eficiência combinada turbina+gerador de 32\%.
  • (c) A força horizontal exercida pelo vento sobre o mastro, supondo que a energia não convertida permanece como energia cinética do ar na saída e desprezando perdas por atrito.
Dados fornecidos (que vou usar explicitamente):
  • Envergadura (diâmetro) das lâminas: 60\\ \mathrm{m}. Daí o raio é \;r=30\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade do vento: 30\\ \mathrm{km/h}. Vou converter para \mathrm{m/s}.
  • Densidade do ar: \rho=1,25\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Eficiência: 32\% = 0{,}32.
Observação: a figura mostra a envergadura de 60\\ \mathrm{m} e a velocidade 30\\ \mathrm{km/h}; usei esses valores diretamente da imagem.

Passo 2

Primeiro vou converter a velocidade do vento para \mathrm{m/s} e calcular a área varrida pelas lâminas.
Conversão de velocidade:
30\\ \mathrm{km/h} = 30\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = \frac{30}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s} = \frac{25}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 8{,}333\\ \mathrm{m/s}.
Vou usar \;v_{1}=8{,}333\\ \mathrm{m/s} como velocidade de entrada.
Área varrida pelas lâminas (círculo de raio r=30\\ \mathrm{m}):
A=\pi r^{2}=\pi(30)^{2}=900\pi\\ \mathrm{m^{2}}\approx 2827{,}433\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora a fórmula da potência disponível no vento (taxa de energia cinética que atravessa a área A):
  • Conceito: a potência disponível no vento é a energia cinética por unidade de tempo do ar que atravessa A. A expressão é
P_{\text{in}}=\tfrac{1}{2}\rho A v_{1}^{3}.
Aqui \rho é a densidade do ar, A é a área varrida e v_{1} é a velocidade do vento incidente.
Vou calcular v_{1}^{3} exatamente usando a fração:
v_{1}=\frac{25}{3}\\ \Rightarrow\\ v_{1}^{3}=\left(\frac{25}{3}\right)^{3}=\frac{15625}{27}\approx 578{,}704\\ \mathrm{m^{3}/s^{3}}.

Passo 3

Cálculo da potência máxima disponível (toda energia cinética convertida):
Aplicando a fórmula
P_{\text{in}}=\tfrac{1}{2}\rho A v_{1}^{3},
substituindo \rho=1{,}25, A=900\pi e v_{1}^{3}=\dfrac{15625}{27},
P_{\text{in}}=\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}25\cdot 900\pi\cdot\frac{15625}{27}.
Faço a mistura numérica passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}25 = 0{,}625,
A=900\pi\approx 2827{,}433\\ \mathrm{m^{2}},
0{,}625\cdot 2827{,}433 \cdot 578{,}704 \approx 1{,}02\times 10^{6}\\ \mathrm{W}.
Portanto, a potência máxima (se toda a energia cinética fosse convertida) é aproximadamente
P_{\text{máx}}\approx 1{,}02\times 10^{6}\\ \mathrm{W}\\ (\text{aprox. }1{,}02\\ \mathrm{MW}).á

Passo 4

Potência real gerada (considerando eficiência de 32\%):
Se a potência disponível é P_{\text{in}} e a eficiência é \eta=0{,}32, então a potência elétrica real é
P_{\text{real}}=\eta\;P_{\text{in}}=0{,}32\cdot 1{,}02\times 10^{6}\\ \mathrm{W}\approx 3{,}27\times 10^{5}\\ \mathrm{W}.
Ou seja, aproximadamente 327\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Cálculo da força horizontal sobre o mastro (usando conservação de massa e energia cinética restante na saída).
Modelagem (ideia física e fórmulas usadas):
  • Denoto v_{1} a velocidade do ar na entrada ( 8{,}333\\ \mathrm{m/s}) e v_{2} a velocidade do ar na saída depois da turbina.
  • A turbina extrai potência P_{\text{extr}}=P_{\text{real}}.
  • A energia cinética que permanece no escoamento de saída por unidade de tempo (potência cinética de saída) é igual à energia não convertida:
P_{\text{saida}}=P_{\text{in}}-P_{\text{extr}}.
  • A energia cinética por unidade de tempo do ar na saída pode também ser escrita como
P_{\text{saida}}=\tfrac{1}{2}\dot{m} v_{2}^{2},
onde \dot{m} é a vazão mássica através do disco da turbina.
  • Pela conservação de massa (modelo do disco atuador), a vazão mássica é
\dot{m}=\rho A v_{\text{disk}}, \quad\text{com}\quad v_{\text{disk}}=\frac{v_{1}+v_{2}}{2}.
  • A potência extraída, em termos das velocidades, é
P_{\text{extr}}=\tfrac{1}{2}\dot{m}\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right).
Vamos relacionar tudo para encontrar v_{2}. Usando \dot{m}=\rho A\frac{v_{1}+v_{2}}{2} na expressão de P_{\text{extr}}:
P_{\text{extr}}=\frac{\rho A}{4}(v_{1}+v_{2})(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=\frac{\rho A}{4}(v_{1}-v_{2})(v_{1}+v_{2})^{2}.
Dividindo ambos os lados por \rho A e usando que P_{\text{extr}}=0{,}32\;P_{\text{in}}=0{,}32\cdot\frac{1}{2}\rho A v_{1}^{3}=0{,}16\rho A v_{1}^{3}, obtemos a equação (cancelando \rho A):
\frac{1}{4}(v_{1}-v_{2})(v_{1}+v_{2})^{2}=0{,}16\,v_{1}^{3}.
Multiplicando por 4:
(v_{1}-v_{2})(v_{1}+v_{2})^{2}=0{,}64\,v_{1}^{3}.
Definindo x=\dfrac{v_{2}}{v_{1}} (razão velocidades), a equação torna-se
(1-x)(1+x)^{2}=0{,}64.
Desenvolvendo:
1+x-x^{2}-x^{3}=0{,}64 \quad\Rightarrow\quad x^{3}+x^{2}-x-0{,}36=0.
Resolvendo numericamente essa equação (buscando a raiz em 0<x<1), obtém-se
x\approx 0{,}8032.
Logo
v_{2}=x v_{1}\approx 0{,}8032\cdot 8{,}333\\ \mathrm{m/s}\approx 6{,}693\\ \mathrm{m/s}.
Agora calculo a força horizontal F. A força resultante sobre a turbina (e transmitida ao mastro) é a taxa de variação do momento linear do ar:
F=\dot{m}(v_{1}-v_{2}).
Com \dot{m}=\rho A\frac{v_{1}+v_{2}}{2}, temos
F=\rho A\frac{v_{1}+v_{2}}{2}(v_{1}-v_{2}).
Uma forma alternativa e rápida (equivalente) é usar que a potência extraída também pode ser escrita como
P_{\text{extr}}=F\cdot v_{\text{disk}}=F\cdot\frac{v_{1}+v_{2}}{2},
logo
F=\frac{P_{\text{extr}}}{(v_{1}+v_{2})/2}.
Uso P_{\text{extr}}=P_{\text{real}}\approx 3{,}27\times 10^{5}\\ \mathrm{W} e v_{1}+v_{2}\approx 8{,}333+6{,}693=15{,}026\\ \mathrm{m/s}. Assim
F\approx \frac{3{,}27\times 10^{5}}{15{,}026/2}=\frac{3{,}27\times 10^{5}}{7{,}513}\approx 4{,}36\times 10^{4}\\ \mathrm{N}.
Portanto a força horizontal sobre o mastro é aproximadamente 4{,}36\times 10^{4}\\ \mathrm{N} (cerca de 44\\ \mathrm{kN}).

Resposta

(a) 1{,}02\times 10^{6}\\ \mathrm{W}\n
(b) 3{,}27\times 10^{5}\\ \mathrm{W}\n
(c) 4{,}36\times 10^{4}\\ \mathrm{N}

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