As grandes turbinas eólicas disponíveis comercialmente incluem diâmetros de até
e geram mais de
de energia elétrica em condições ótimas de projeto. Considere uma turbina eólica com
envergadura de lâmina de
sujeita a ventos constantes de
. Se a eficiência combinada de turbina e gerador da turbina eólica for de
, determine:
a) A potência máxima gerada pela turbina considerando que toda energia cinética é convertida.
b) A potência real gerada pela turbina.
c) A força horizontal exercida pelo vento sobre o mastro de suporte da turbina. Assuma que a energia não convertida equivale à energia cinética na saída. Tome a densidade do ar como
e despreze os efeitos de atrito (energia não convertida será igual à energia cinética na saída).
envergadura de lâmina de
a) A potência máxima gerada pela turbina considerando que toda energia cinética é convertida.
b) A potência real gerada pela turbina.
c) A força horizontal exercida pelo vento sobre o mastro de suporte da turbina. Assuma que a energia não convertida equivale à energia cinética na saída. Tome a densidade do ar como
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) A potência máxima gerada se toda a energia cinética do vento incidente sobre a área varrida pelas lâminas for convertida em energia elétrica.
- (b) A potência real gerada considerando uma eficiência combinada turbina+gerador de
. - (c) A força horizontal exercida pelo vento sobre o mastro, supondo que a energia não convertida permanece como energia cinética do ar na saída e desprezando perdas por atrito.
Dados fornecidos (que vou usar explicitamente):
- Envergadura (diâmetro) das lâminas:
. Daí o raio é . - Velocidade do vento:
. Vou converter para . - Densidade do ar:
. - Eficiência:
.
Observação: a figura mostra a envergadura de
e a velocidade
; usei esses valores diretamente da imagem.
Passo 2
Primeiro vou converter a velocidade do vento para
e calcular a área varrida pelas lâminas.
Conversão de velocidade:
Vou usar
como velocidade de entrada.
Área varrida pelas lâminas (círculo de raio
):
Agora a fórmula da potência disponível no vento (taxa de energia cinética que atravessa a área
):
- Conceito: a potência disponível no vento é a energia cinética por unidade de tempo do ar que atravessa
. A expressão é
Aqui
é a densidade do ar,
é a área varrida e
é a velocidade do vento incidente.
Vou calcular
exatamente usando a fração:
Passo 3
Cálculo da potência máxima disponível (toda energia cinética convertida):
Aplicando a fórmula
substituindo
,
e
,
Faço a mistura numérica passo a passo:
Portanto, a potência máxima (se toda a energia cinética fosse convertida) é aproximadamente
Passo 4
Potência real gerada (considerando eficiência de
):
Se a potência disponível é
e a eficiência é
, então a potência elétrica real é
Ou seja, aproximadamente
.
Passo 5
Cálculo da força horizontal sobre o mastro (usando conservação de massa e energia cinética restante na saída).
Modelagem (ideia física e fórmulas usadas):
- Denoto
a velocidade do ar na entrada ( ) e a velocidade do ar na saída depois da turbina. - A turbina extrai potência
. - A energia cinética que permanece no escoamento de saída por unidade de tempo (potência cinética de saída) é igual à energia não convertida:
- A energia cinética por unidade de tempo do ar na saída pode também ser escrita como
onde
é a vazão mássica através do disco da turbina.
- Pela conservação de massa (modelo do disco atuador), a vazão mássica é
- A potência extraída, em termos das velocidades, é
Vamos relacionar tudo para encontrar
. Usando
na expressão de
:
Dividindo ambos os lados por
e usando que
, obtemos a equação (cancelando
):
Multiplicando por
:
Definindo
(razão velocidades), a equação torna-se
Desenvolvendo:
Resolvendo numericamente essa equação (buscando a raiz em
), obtém-se
Logo
Agora calculo a força horizontal
. A força resultante sobre a turbina (e transmitida ao mastro) é a taxa de variação do momento linear do ar:
Com
, temos
Uma forma alternativa e rápida (equivalente) é usar que a potência extraída também pode ser escrita como
logo
Uso
e
. Assim
Portanto a força horizontal sobre o mastro é aproximadamente
(cerca de
).
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)