Questão 3 ( 3,6 pts): Considere um disco de cargas de raio b, centrado na origem no plano x y. Dado que a densidade superficial de cargas no disco é \rho_{s},
a) ( 0,2 pts) Se a distribuição de carga no disco é uniforme, determine a carga total no disco.
b) (0,4 pts ) Se a distribuição de carga no disco não é uniforme e igual a \rho_{s}=a_{0} \operatorname{sen}^{2}\left(\frac{\pi \rho}{b}\right), determine a carga total no disco. a_{0} é uma constante.
c) ( 0,4 pts) Faça um gráfico \left(\rho_{l} \times \rho\right) da distribuição de carga no disco para o item b). (observação: indicar os pontos de abscissa e ordenada no gráfico)
d) (2,2 pts) Se a distribuição de carga no disco é uniforme, calcule o campo elétrico devido ao disco no ponto de coordenadas cartesianas ( 0,0, z ). (observação: desenvolver de forma clara, detalhada e organizada todas as etapas de cálculo).
e) ( 0,4 pts) Expresse o vetor campo elétrico calculado no item d) em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede cinco coisas diferentes; vou listar claramente cada pergunta e os dados fornecidos:
  • Pedido (a): Se a densidade superficial de carga no disco é uniforme (valor dado por \rho_{s}), determinar a carga total no disco.
  • Pedido (b): Se a densidade superficial é não uniforme e dada por \rho_{s}=a_{0}\operatorname{sen}^{2}\!\left(\dfrac{\pi \rho}{b}\right) (onde \rho é a coordenada radial no plano do disco e a_{0} é constante), determinar a carga total no disco.
  • Pedido (c): Fazer um gráfico da densidade \rho_{s} em função da coordenada radial \rho para o caso do item (b); indicar pontos notáveis nas abscissas e ordenadas.
  • Pedido (d): Para a distribuição uniforme (mesma do item a), calcular o campo elétrico no ponto de coordenadas cartesianas (0,0,z). Desenvolver todos os passos com clareza.
  • Pedido (e): Expressar o vetor campo elétrico do item (d) em coordenadas esféricas.
Dados relevantes que o enunciado fornece:
  • O disco tem raio b e está centrado na origem no plano xy (ou seja, z=0).
  • A densidade superficial uniforme, quando aplicada, vale \rho_{s} (símbolo usado no enunciado).
  • No item (b) a densidade é \rho_{s}(\rho)=a_{0}\operatorname{sen}^{2}\!\left(\dfrac{\pi \rho}{b}\right).
  • Queremos o campo no ponto sobre o eixo z, ou seja em (0,0,z).
A partir daqui começo a resolver passo a passo cada item, explicando toda a teoria necessária conforme pedido.

Passo 2

Item (a): calcular a carga total para densidade superficial uniforme.
Explicação pedagógica curta: a densidade superficial \rho_{s} (unidade C/m²) é carga por unidade de área. Para obter a carga total Q somamos (integrando) \rho_{s} sobre toda a área do disco. Se \rho_{s} é constante, a integral é simplesmente a densidade vezes a área.
Cálculo direto:
Q=\iint_{\text{disco}}\rho_{s}\,dA.
Como \rho_{s} é constante podemos tirar fora da integral:
Q=\rho_{s}\iint_{\text{disco}} dA=\rho_{s}\times(\text{área do disco}).á
Área do disco de raio b é \pi b^{2}. Logo
Q=\rho_{s}\,\pi b^{2}.

Passo 3

Item (b): calcular a carga total quando \rho_{s}(\rho)=a_{0}\operatorname{sen}^{2}\!\left(\dfrac{\pi \rho}{b}\right).
Explicação didática do método: é natural usar coordenadas polares (no plano xy) porque a densidade depende só da distância radial \rho. Em polares, um elemento de área é dA=\rho\,d\rho\,d\varphi. Assim a carga total é a integral de \rho_{s}(\rho) sobre \rho\in[0,b] e \varphi\in[0,2\pi].
Montagem da integral:
Q=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{b} \rho_{s}(\rho)\,\rho\,d\rho\,d\varphi =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{b} a_{0}\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{\pi \rho}{b}\right)\rho\,d\rho\,d\varphi.
Como não há dependência em \varphi, a integral em \varphi só dá um fator 2\pi:
Q=2\pi a_{0}\int_{0}^{b} \rho\,\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{\pi \rho}{b}\right)d\rho.

Passo 4

Continuando o cálculo do item (b): avaliar a integral radial.
Usamos a identidade trigonométrica útil para integrar \operatorname{sen}^{2}:
\operatorname{sen}^{2}u=\frac{1-\cos(2u)}{2}.
Aplicando com u=\dfrac{\pi \rho}{b} temos
\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{\pi \rho}{b}\right)=\frac{1-\cos\!\left(\frac{2\pi \rho}{b}\right)}{2}.
Substituindo na integral:
Q=2\pi a_{0}\int_{0}^{b}\rho\cdot\frac{1-\cos\!\left(\frac{2\pi \rho}{b}\right)}{2}\,d\rho =\pi a_{0}\left(\int_{0}^{b}\rho\,d\rho-\int_{0}^{b}\rho\cos\!\left(\frac{2\pi \rho}{b}\right)d\rho\right).
Agora calculamos cada integral separadamente.
Primeira integral (simples):
\int_{0}^{b}\rho\,d\rho=\left.\frac{\rho^{2}}{2}\right|_{0}^{b}=\frac{b^{2}}{2}.
Segunda integral: \displaystyle \int_{0}^{b}\rho\cos\!\left(\frac{2\pi \rho}{b}\right)d\rho.
Fazemos integração por partes ou substituição padrão. Vou usar integração por partes: seja
u=\rho,\quad dv=\cos\!\left(\frac{2\pi \rho}{b}\right)d\rho.
Então
du=d\rho,\quad v=\int \cos\!\left(\frac{2\pi \rho}{b}\right)d\rho=\frac{b}{2\pi}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi \rho}{b}\right).
Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{b}\rho\cos\!\left(\frac{2\pi \rho}{b}\right)d\rho =\left.\rho\cdot\frac{b}{2\pi}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi \rho}{b}\right)\right|_{0}^{b} -\int_{0}^{b}\frac{b}{2\pi}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi \rho}{b}\right)d\rho.
Avaliações:
  • No termo de fronteira, quando \rho=b temos \operatorname{sen}(2\pi)=0; quando \rho=0 temos \operatorname{sen} 0=0. Então o termo de fronteira é zero.
  • A integral restante é proporcional a \int_{0}^{b}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi \rho}{b}\right)d\rho, que também se anula porque a primitiva é -\dfrac{b}{2\pi}\cos\!\left(\dfrac{2\pi \rho}{b}\right) e avaliando de 0 a b -\dfrac{b}{2\pi}(\cos 2\pi - \cos 0)=-\dfrac{b}{2\pi}(1-1)=0.
Portanto
\int_{0}^{b}\rho\cos\!\left(\frac{2\pi \rho}{b}\right)d\rho=0.
Voltando para Q:
Q=\pi a_{0}\left(\frac{b^{2}}{2}-0\right)=\frac{\pi a_{0} b^{2}}{2}.

Passo 5

Item (c): esboço do gráfico \rho_{s}(\rho) para o caso do item (b).
Primeiro descrevo a função e depois dou pontos notáveis que devem ser marcados no gráfico (eixos e unidades simbólicas):
A função é
\rho_{s}(\rho)=a_{0}\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{\pi \rho}{b}\right),\qquad 0\le \rho\le b.
Pontos notáveis e valores:
  • Em \rho=0: \rho_{s}(0)=a_{0}\operatorname{sen}^{2}0=0.
  • Em \rho=\dfrac{b}{2}: \rho_{s}\!\left(\dfrac{b}{2}\right)=a_{0}\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=a_{0}\cdot 1=a_{0}. (pico máximo)
  • Em \rho=b: \rho_{s}(b)=a_{0}\operatorname{sen}^{2}\!\left(\pi\right)=0.
  • Em \rho=\dfrac{b}{4}: \rho_{s}\!\left(\frac{b}{4}\right)=a_{0}\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=a_{0}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{a_{0}}{2}.
  • Em \rho=\dfrac{3b}{4}: simetricamente \rho_{s}=\dfrac{a_{0}}{2}.
Descrição do esboço (para desenhar): eixo horizontal é \rho de 0 a b; eixo vertical é \rho_{s} de 0 a a_{0}. A curva começa em 0 quando \rho=0, sobe suavemente até atingir a_{0} em \rho=b/2 e desce novamente a zero em \rho=b. Marque os pontos \left(0,0\right), \left(\dfrac{b}{4},\dfrac{a_{0}}{2}\right), \left(\dfrac{b}{2},a_{0}\right), \left(\dfrac{3b}{4},\dfrac{a_{0}}{2}\right) e \left(b,0\right).

Passo 6

Item (d): calcular o campo elétrico no ponto (0,0,z) devido ao disco com densidade superficial uniforme \rho_{s}.
Plano de resolução (didático): vou decompor o disco em anéis concêntricos (cada anel tem simetria circular). O campo de cada anel no eixo é conhecido e pode ser obtido da lei de Coulomb; somando (integrando) os anéis de raio \rho de 0 a b obtemos o campo total. Vou explicar os passos e cada símbolo.
Lei de Coulomb (forma diferencial): campo devido a uma carga pontual dq em posição relativa é
d\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo, r é a distância entre a carga e o ponto de observação, e \hat{\mathbf{r}} é o versor que aponta da carga para o ponto.
Construção do elemento de integração:
  • Considere um anel de raio \rho (no plano z=0), largura d\rho. A área do anel é dA=(2\pi \rho)\,d\rho.
  • A carga do anel: dq=\rho_{s}\,dA=\rho_{s}\,2\pi \rho\,d\rho.
  • Distância do anel ao ponto (0,0,z): todos os pontos do anel estão à mesma distância r=\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}.
  • Campo produzido por um elemento de carga do anel tem uma componente axial (paralela ao eixo z) e componentes radiais que se cancelam por simetria ao integrar ao longo do anel. Logo só resta a componente axial dE_{z}.
Expressão do campo axial devido ao anel (vindo diretamente ou derivada de Coulomb):
Um elemento dq a distância r produz uma contribuição axial
dE_{z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{r^{2}}\cos\alpha,
onde \cos\alpha é o cosseno do ângulo entre a linha que liga o elemento até o ponto e o eixo z. Aqui \cos\alpha=\dfrac{z}{r}. Substituindo dq e r obtemos
dE_{z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{s}\,2\pi \rho\,d\rho}{(\rho^{2}+z^{2})}\cdot\frac{z}{\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}}.
Simplificando fatores:
dE_{z}=\frac{\rho_{s} z}{2\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\rho\,d\rho}{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Agora integramos \rho de 0 a b:
E_{z}=\int_{0}^{b} dE_{z}=\frac{\rho_{s} z}{2\varepsilon_{0}}\int_{0}^{b}\frac{\rho\,d\rho}{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}}.

Passo 7

Avaliação da integral axial (continuação do item d).
Cálculo da integral
I=\int_{0}^{b}\frac{\rho\,d\rho}{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Fazemos a substituição u=\rho^{2}+z^{2}. Então du=2\rho\,d\rho, logo \rho\,d\rho=\dfrac{du}{2}. Quando \rho=0 temos u=z^{2}; quando \rho=b temos u=b^{2}+z^{2}. Assim
I=\int_{u=z^{2}}^{u=b^{2}+z^{2}}\frac{1}{2}\,u^{-3/2}\,du =\frac{1}{2}\left.\left(-2u^{-1/2}\right)\right|_{z^{2}}^{b^{2}+z^{2}} =-\left.\frac{1}{\sqrt{u}}\right|_{z^{2}}^{b^{2}+z^{2}}.
Portanto
I=\left(\frac{1}{\sqrt{z^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{b^{2}+z^{2}}}\right)=\frac{1}{|z|}-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}.
No enunciado pede o campo no ponto (0,0,z). Normalmente consideramos z>0 (ponto acima do disco); então |z|=z e obtemos
I=\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}.
Voltando ao E_{z}:
E_{z}=\frac{\rho_{s} z}{2\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}\right) =\frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}\right).
Interpretação física e orientação do vetor:
  • Se \rho_{s}>0 e z>0, o campo aponta para + z (afastando cargas positivas), então o vetor campo é dirigido ao longo do versor \hat{\mathbf{k}}.
  • Para z<0 (ponto abaixo do disco), a fórmula com |z| daria o sinal correto de direção (o campo apontaria para baixo). Mas aqui estamos explicitando o caso z>0.
Assim o vetor campo em coordenadas cartesianas é
\mathbf{E}(0,0,z)=E_{z}\,\hat{\mathbf{k}} =\frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}\right)\hat{\mathbf{k}}.
Observações de consistência (úteis para prova):
  • Limite b\to\infty (disco muito grande): \sqrt{z^{2}+b^{2}}\approx b\to\infty, então \dfrac{z}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}\to 0 e E_{z}\to\dfrac{\rho_{s}}{2\varepsilon_{0}}, que é o campo de um plano infinito de carga uniforme (metade de \sigma/\varepsilon_{0} de cada lado).
  • Limite z\to\infty: \dfrac{z}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}\to 1, então E_{z}\to 0 como esperado para uma distribuição finita vista de muito longe.

Passo 8

Item (e): expressar o vetor campo em coordenadas esféricas.
Lembrando a convenção usual de coordenadas esféricas: um ponto no eixo z com coordenadas cartesianas (0,0,z) tem
r_{\text{sph}}=\sqrt{0+0+z^{2}}=|z|,\qquad \theta=0\\ \text{se}\\ z>0\\ (\theta=\pi\\ \text{se}\\ z<0),
onde \theta é o ângulo polar medido a partir do eixo +z. O versor radial esférico \hat{\mathbf{r}} coincide com \hat{\mathbf{k}} quando \theta=0 (ou é -\hat{\mathbf{k}} quando \theta=\pi).
Para z>0 (caso mais comum), temos \hat{\mathbf{r}}=\hat{\mathbf{k}} e r_{\text{sph}}=z. Então podemos simplesmente escrever o campo como
\mathbf{E}=\frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{r_{\text{sph}}}{\sqrt{r_{\text{sph}}^{2}+b^{2}}}\right)\hat{\mathbf{r}}.
Em termos de componentes esféricas (para qualquer \theta, mas lembrando que fora do eixo essa expressão não vale porque a simetria usada foi axial — aqui estamos apenas reescrevendo o campo no ponto sobre o eixo):
E_{r}=\frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{r}{\sqrt{r^{2}+b^{2}}}\right),\qquad E_{\theta}=0,\qquad E_{\varphi}=0,
avaliado no ponto com r=|z| e \theta=0 (ou \theta=\pi se for abaixo do disco, com sinal apropriado).

Resposta

(a) Q=\rho_{s}\,\pi b^{2}.
(b) Q=\dfrac{\pi a_{0} b^{2}}{2}.
(c) Gráfico de \rho_{s}(\rho)=a_{0}\operatorname{sen}^{2}\!\left(\dfrac{\pi \rho}{b}\right) para 0\le\rho\le b, com pontos notáveis:
\left(0,0\right),\left(\dfrac{b}{4},\dfrac{a_{0}}{2}\right),\left(\dfrac{b}{2},a_{0}\right),\left(\dfrac{3b}{4},\dfrac{a_{0}}{2}\right),\left(b,0\right).
(d) \displaystyle \mathbf{E}(0,0,z)=\frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}\right)\hat{\mathbf{k}}.
(e) Em coordenadas esféricas (no ponto sobre o eixo, r=|z|, \theta=0 para z>0):
\displaystyle \mathbf{E}=\frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{r}{\sqrt{r^{2}+b^{2}}}\right)\hat{\mathbf{r}},
ou em componentes esféricas E_{r}=\dfrac{\rho_{s}}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\dfrac{r}{\sqrt{r^{2}+b^{2}}}\right),\;E_{\theta}=0,\;E_{\varphi}=0.

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